Sejam
pertencentes ao intervalo aberto
. Se
, mostre que:
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados: para cada
vale . - Também é dado que
(ou seja, para todo ) e (ou seja, para todo ). - Pedido: mostrar que
Passo 2
A partir de
e do fato
, podemos multiplicar a desigualdade
por
sem trocar o sentido das desigualdades (multiplicar por número positivo preserva desigualdades). Obtemos, para cada
,
Passo 3
Como
, multiplicamos agora cada uma das desigualdades do passo anterior por
. Novamente a multiplicação por número positivo preserva desigualdades, então para todo
temos
Passo 4
Somando as desigualdades anteriores sobre
(a soma de desigualdades estritas é uma desigualdade estrita), obtemos
Passo 5
Observe que
, pois é soma de termos positivos (
e
). Como o denominador é positivo, podemos dividir a cadeia de desigualdades do passo anterior por
sem trocar os sinais. Dividindo obtemos
Passo 6
A desigualdade do passo anterior é exatamente a afirmação que precisávamos provar, isto é,
Passo 7
Uma interpretação útil (que ajuda a entender o porquê intuitivamente) é escrever
nota-se que
e
. Então
ou seja, o quociente é uma combinação convexa (uma média ponderada) dos números
. Como cada
está no intervalo
, qualquer combinação convexa deles também está em
. Isso é apenas outra forma de ver o mesmo resultado.
Passo 8
Resumo final do raciocínio: multiplicamos as desigualdades individuais por
e
, somamos e dividimos pelo denominador positivo. Em cada passo usamos propriedades básicas de desigualdades (multiplicação/divisão por número positivo e soma de desigualdades). Pronto — prova concluída. Força aí nos estudos; essa ideia de “média ponderada fica entre os valores” é muito útil em provas!