Sejam \frac{a_{1}}{b_{1}}, \frac{a_{2}}{b_{2}}, \frac{a_{3}}{b_{3}}, \cdots, \frac{a_{n}}{b_{n}} pertencentes ao intervalo aberto (\alpha, \beta), \operatorname{com} b_{1}, b_{2}, b_{3}, \cdots, b_{n} \in \mathbb{R}_{+}. Se t_{1}, t_{2}, t_{3}, \cdots, t_{n} \in \mathbb{R}_{+}, mostre que:
\frac{a_{1} t_{1}+a_{2} t_{2}+a_{3} t_{3}+\cdots+a_{n} t_{n}}{b_{1} t_{1}+b_{2} t_{2}+b_{3} t_{3}+\cdots+b_{n} t_{n}} \in(\alpha, \beta) .

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados: para cada i=1,2,\dots,n vale \dfrac{a_i}{b_i}\in(\alpha,\beta).
  • Também é dado que b_i\in\mathbb{R}_{+} (ou seja, b_i>0 para todo i) e t_i\in\mathbb{R}_{+} (ou seja, t_i>0 para todo i).
  • Pedido: mostrar que
\frac{a_{1} t_{1}+a_{2} t_{2}+\cdots+a_{n} t_{n}}{b_{1} t_{1}+b_{2} t_{2}+\cdots+b_{n} t_{n}}\in(\alpha,\beta).

Passo 2

A partir de \dfrac{a_i}{b_i}\in(\alpha,\beta) e do fato b_i>0, podemos multiplicar a desigualdade \alpha<\dfrac{a_i}{b_i}<\beta por b_i sem trocar o sentido das desigualdades (multiplicar por número positivo preserva desigualdades). Obtemos, para cada i,
\alpha b_i < a_i < \beta b_i.

Passo 3

Como t_i>0, multiplicamos agora cada uma das desigualdades do passo anterior por t_i. Novamente a multiplicação por número positivo preserva desigualdades, então para todo i temos
\alpha b_i t_i < a_i t_i < \beta b_i t_i.

Passo 4

Somando as desigualdades anteriores sobre i=1,2,\dots,n (a soma de desigualdades estritas é uma desigualdade estrita), obtemos
\alpha\sum_{i=1}^{n} b_i t_i \; <\; \sum_{i=1}^{n} a_i t_i \; <\; \beta\sum_{i=1}^{n} b_i t_i.

Passo 5

Observe que \sum_{i=1}^{n} b_i t_i>0, pois é soma de termos positivos ( b_i>0 e t_i>0). Como o denominador é positivo, podemos dividir a cadeia de desigualdades do passo anterior por \sum_{i=1}^{n} b_i t_i sem trocar os sinais. Dividindo obtemos
\alpha \; <\; \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i t_i}{\sum_{i=1}^{n} b_i t_i} \; <\; \beta.

Passo 6

A desigualdade do passo anterior é exatamente a afirmação que precisávamos provar, isto é,
\frac{a_{1} t_{1}+a_{2} t_{2}+\cdots+a_{n} t_{n}}{b_{1} t_{1}+b_{2} t_{2}+\cdots+b_{n} t_{n}}\in(\alpha,\beta).

Passo 7

Uma interpretação útil (que ajuda a entender o porquê intuitivamente) é escrever
w_i=\frac{b_i t_i}{\sum_{j=1}^{n} b_j t_j},
nota-se que w_i>0 e \sum_{i=1}^n w_i=1. Então
\frac{\sum_{i=1}^{n} a_i t_i}{\sum_{i=1}^{n} b_i t_i}=\sum_{i=1}^{n} w_i\frac{a_i}{b_i},
ou seja, o quociente é uma combinação convexa (uma média ponderada) dos números \dfrac{a_i}{b_i}. Como cada \dfrac{a_i}{b_i} está no intervalo (\alpha,\beta), qualquer combinação convexa deles também está em (\alpha,\beta). Isso é apenas outra forma de ver o mesmo resultado.

Passo 8

Resumo final do raciocínio: multiplicamos as desigualdades individuais por b_i e t_i, somamos e dividimos pelo denominador positivo. Em cada passo usamos propriedades básicas de desigualdades (multiplicação/divisão por número positivo e soma de desigualdades). Pronto — prova concluída. Força aí nos estudos; essa ideia de “média ponderada fica entre os valores” é muito útil em provas!

Resposta

\frac{a_{1} t_{1}+a_{2} t_{2}+\cdots+a_{n} t_{n}}{b_{1} t_{1}+b_{2} t_{2}+\cdots+b_{n} t_{n}}\in(\alpha,\beta).

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