Usando o “Método da diagonal de Cantor”, prove que o intervalo aberto (0,1) não é enumerável. Conclua, deste resultado, que o conjunto \mathbb{R} dos números reais também não é enumerável.
6. Prove que o produto de um número irracional por um número racional diferente de zero é um número irracional. Mostre, com um contraexemplo, que o produto de dois números irracionais pode ser racional.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas; vou listar claramente cada pergunta e as informações relevantes:
  • Pergunta A: Usando o “Método da diagonal de Cantor”, provar que o intervalo aberto (0,1) não é enumerável (ou seja, não é enumerável por \mathbb{N}). A partir disso, concluir que o conjunto \mathbb{R} dos reais também não é enumerável.
  • Pergunta B: Provar que o produto de um número irracional por um número racional diferente de zero é irracional. Em seguida, mostrar com um contraexemplo que o produto de dois números irracionais pode ser racional.
Informações e definições importantes que vou usar (essas são dados/definições do enunciado que servem de base):
  • Enumerável (contável): um conjunto S é enumerável (contável infinito) se existe uma bijeção f:\mathbb{N}\to S. Em linguagem prática, enumerável significa que é possível listar todos os elementos como x_1,x_2,x_3,\dots.
  • Irracional: número real que não é racional; isto é, não pode ser escrito como \dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z} e q\neq0.
  • Racional: número que pode ser escrito como \dfrac{p}{q}, p,q\in\mathbb{Z}, q\neq0.
Nada do que foi dito no enunciado exige uma figura; portanto não há imagens a considerar.

Passo 2

Ideia do “Método da diagonal de Cantor” (só a ideia, sem provar ainda): assumir que (0,1) é enumerável, escrever todos os números em uma lista e construir um número em (0,1) que difere do primeiro número na primeira casa decimal, do segundo número na segunda casa decimal, e assim por diante — daí o nome “diagonal”. Esse número não aparece na lista, contradizendo que a lista era completa. Agora vamos fazer isso rigorosamente, cuidando de um detalhe técnico sobre representações decimais.
Detalhe técnico sobre representações decimais (muito importante): alguns números têm duas escritas decimais (por exemplo, 0{,}4999\ldots = 0{,}5). Para evitar ambiguidade, ao listar decimais assumimos que cada número em (0,1) é representado por uma expansão decimal que não termina em infinitos noves. Isso é sempre possível: se uma expansão termina em infinitos noves, usa-se a outra expansão que termina em zeros (ex.: prefira 0{,}5000\ldots em vez de 0{,}4999\ldots). Assim cada número tem pelo menos uma expansão escolhida que não termina em infinitos noves.

Passo 3

Prova rigorosa de que [(0,1)) não é enumerável (diagonal de Cantor).
Suponha, por contradição, que (0,1) é enumerável. Então existe uma lista que contém todos os números de (0,1):
x_1,\; x_2,\; x_3,\; \dots
Escreva cada x_n na sua expansão decimal escolhida que não termina em infinitos noves:
x_1 = 0{,}d_{11}d_{12}d_{13}\dots
x_2 = 0{,}d_{21}d_{22}d_{23}\dots
x_3 = 0{,}d_{31}d_{32}d_{33}\dots
e assim por diante, onde cada d_{nk}\in\{0,1,2,\dots,9\} é o dígito na posição k de x_n.
Agora construo um número y\in(0,1) por suas casas decimais (c_1,c_2,c_3,\dots) definidas assim: para cada n,
c_n = \begin{cases} 1, &\text{se } d_{nn}\neq 1,\\[4pt] 2, &\text{se } d_{nn}=1. \end{cases}
Ou seja, escolho c_n\] diferente de \(d_{nn} e evito escolher 9 para não criar uma expansão terminando em infinitos noves. Com essa regra, cada c_n está em \{1,2\} e portanto y=0{,}c_1c_2c_3\ldots é um número bem definido em (0,1) e sua expansão não termina em infinitos noves.
Agora verifico a propriedade crucial: para todo n, o n-ésimo dígito decimal de y é c_n, que foi escolhido para ser diferente de d_{nn} (o n-ésimo dígito de x_n). Logo y difere de x_n na n-ésima casa decimal, portanto y\neq x_n para todo n.
Isso mostra que nenhum x_n da lista é igual a y. Mas y\in(0,1), então a lista não contém todos os elementos de (0,1), contradizendo a hipótese de que a lista era uma enumeração completa. Assim a suposição de que (0,1) é enumerável é falsa. Portanto:
\text{O intervalo }(0,1)\text{ não é enumerável (é incontável).}ãéáéá]

Passo 4

Conclusão para \mathbb{R}.
A consequência imediata é que \mathbb{R} não é enumerável. Razão: (0,1)\subset\mathbb{R}. Se \mathbb{R} fosse enumerável (contável), então todo subconjunto de \mathbb{R} também seria contável (qualquer subconjunto de um conjunto contável é contável ou finito). Mas já provamos que (0,1) não é contável. Isso é uma contradição. Logo \mathbb{R} não é enumerável. (Outra maneira padrão de ver: existe uma injeção i:(0,1)\hookrightarrow\mathbb{R} dada pela inclusão; se \mathbb{R} fosse contável então (0,1) também seria.)

Passo 5

Provar que o produto de um irracional por um racional não nulo é irracional.
Seja r\in\mathbb{Q} com r\neq 0 e seja x\notin\mathbb{Q} (ou seja, x irracional). Vou provar que rx\notin\mathbb{Q}.
Prova por contradição. Suponha que rx\in\mathbb{Q}. Então existem inteiros p,q com q\neq0 tais que
rx=\frac{p}{q}.
Como r é racional e não nulo, existe uma escrita r=\dfrac{a}{b} com a,b\in\mathbb{Z} e b\neq0. Então
x=\frac{rx}{r}=\frac{p/q}{a/b}=\frac{p}{q}\cdot\frac{b}{a}=\frac{pb}{qa}.
Aqui pb e qa são inteiros e qa\neq0, então x é racional. Mas isso contradiz a hipótese de que x é irracional. Portanto a suposição rx\in\mathbb{Q} é falsa, logo rx\notin\mathbb{Q}. Concluímos:
\text{Se }r\in\mathbb{Q}\setminus\{0\}\text{ e }x\notin\mathbb{Q},\text{ então }rx\notin\mathbb{Q}.ã
Comentário adicional (útil na prova/na prova corrida da prova): se r=0 então rx=0\in\mathbb{Q}, por isso o enunciado exige r\neq0.

Passo 6

Mostrar com um contraexemplo que o produto de dois irracionais pode ser racional.
Um exemplo clássico e simples: seja x=\sqrt{2} e y=\sqrt{2}. Ambos são irracionais (pode-se provar que \sqrt{2} é irracional por uma prova por contradição: assumir \sqrt{2}=p/q em termos primos leva à contradição de que p e q são pares). Então
x\cdot y = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2,
e 2\in\mathbb{Q}. Assim o produto de dois irracionais pode ser racional.
Observação extra (didática): nem sempre o produto de dois irracionais é racional; por exemplo \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6} que é irracional. Então não há uma regra geral que determine o tipo do produto de dois irracionais — por isso precisamos de um contraexemplo, não de uma prova universal contrária.

Resposta

(0,1) não é enumerável; portanto \mathbb{R} não é enumerável.
Se r\in\mathbb{Q}\setminus\{0\} e x\notin\mathbb{Q} então rx\notin\mathbb{Q}.
Contraexemplo: \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\in\mathbb{Q} (dois irracionais cujo produto é racional).

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