Usando o “Método da diagonal de Cantor”, prove que o intervalo aberto
não é enumerável. Conclua, deste resultado, que o conjunto
dos números reais também não é enumerável.
6. Prove que o produto de um número irracional por um número racional diferente de zero é um número irracional. Mostre, com um contraexemplo, que o produto de dois números irracionais pode ser racional.
6. Prove que o produto de um número irracional por um número racional diferente de zero é um número irracional. Mostre, com um contraexemplo, que o produto de dois números irracionais pode ser racional.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas; vou listar claramente cada pergunta e as informações relevantes:
- Pergunta A: Usando o “Método da diagonal de Cantor”, provar que o intervalo aberto
não é enumerável (ou seja, não é enumerável por ). A partir disso, concluir que o conjunto dos reais também não é enumerável. - Pergunta B: Provar que o produto de um número irracional por um número racional diferente de zero é irracional. Em seguida, mostrar com um contraexemplo que o produto de dois números irracionais pode ser racional.
Informações e definições importantes que vou usar (essas são dados/definições do enunciado que servem de base):
- Enumerável (contável): um conjunto
é enumerável (contável infinito) se existe uma bijeção . Em linguagem prática, enumerável significa que é possível listar todos os elementos como . - Irracional: número real que não é racional; isto é, não pode ser escrito como
com e . - Racional: número que pode ser escrito como
, , .
Nada do que foi dito no enunciado exige uma figura; portanto não há imagens a considerar.
Passo 2
Ideia do “Método da diagonal de Cantor” (só a ideia, sem provar ainda): assumir que
é enumerável, escrever todos os números em uma lista e construir um número em
que difere do primeiro número na primeira casa decimal, do segundo número na segunda casa decimal, e assim por diante — daí o nome “diagonal”. Esse número não aparece na lista, contradizendo que a lista era completa. Agora vamos fazer isso rigorosamente, cuidando de um detalhe técnico sobre representações decimais.
Detalhe técnico sobre representações decimais (muito importante): alguns números têm duas escritas decimais (por exemplo,
). Para evitar ambiguidade, ao listar decimais assumimos que cada número em
é representado por uma expansão decimal que não termina em infinitos noves. Isso é sempre possível: se uma expansão termina em infinitos noves, usa-se a outra expansão que termina em zeros (ex.: prefira
em vez de
). Assim cada número tem pelo menos uma expansão escolhida que não termina em infinitos noves.
Passo 3
Prova rigorosa de que [(0,1)) não é enumerável (diagonal de Cantor).
Suponha, por contradição, que
é enumerável. Então existe uma lista que contém todos os números de
:
Escreva cada
na sua expansão decimal escolhida que não termina em infinitos noves:
e assim por diante, onde cada
é o dígito na posição
de
.
Agora construo um número
por suas casas decimais
definidas assim: para cada
,
Ou seja, escolho
e evito escolher
para não criar uma expansão terminando em infinitos noves. Com essa regra, cada
está em
e portanto
é um número bem definido em
e sua expansão não termina em infinitos noves.
Agora verifico a propriedade crucial: para todo
, o
-ésimo dígito decimal de
é
, que foi escolhido para ser diferente de
(o
-ésimo dígito de
). Logo
difere de
na
-ésima casa decimal, portanto
para todo
.
Isso mostra que nenhum
da lista é igual a
. Mas
, então a lista não contém todos os elementos de
, contradizendo a hipótese de que a lista era uma enumeração completa. Assim a suposição de que
é enumerável é falsa. Portanto:
Passo 4
Conclusão para
.
A consequência imediata é que
não é enumerável. Razão:
. Se
fosse enumerável (contável), então todo subconjunto de
também seria contável (qualquer subconjunto de um conjunto contável é contável ou finito). Mas já provamos que
não é contável. Isso é uma contradição. Logo
não é enumerável. (Outra maneira padrão de ver: existe uma injeção
dada pela inclusão; se
fosse contável então
também seria.)
Passo 5
Provar que o produto de um irracional por um racional não nulo é irracional.
Seja
com
e seja
(ou seja,
irracional). Vou provar que
.
Prova por contradição. Suponha que
. Então existem inteiros
com
tais que
Como
é racional e não nulo, existe uma escrita
com
e
. Então
Aqui
e
são inteiros e
, então
é racional. Mas isso contradiz a hipótese de que
é irracional. Portanto a suposição
é falsa, logo
. Concluímos:
Comentário adicional (útil na prova/na prova corrida da prova): se
então
, por isso o enunciado exige
.
Passo 6
Mostrar com um contraexemplo que o produto de dois irracionais pode ser racional.
Um exemplo clássico e simples: seja
e
. Ambos são irracionais (pode-se provar que
é irracional por uma prova por contradição: assumir
em termos primos leva à contradição de que
e
são pares). Então
e
. Assim o produto de dois irracionais pode ser racional.
Observação extra (didática): nem sempre o produto de dois irracionais é racional; por exemplo
que é irracional. Então não há uma regra geral que determine o tipo do produto de dois irracionais — por isso precisamos de um contraexemplo, não de uma prova universal contrária.
Resposta
Se
Contraexemplo: