Sejam f(x) uma função definida em \mathbb{R} tal que para todo x \neq 2, satisfaz -x^{2}+4 x \leq f(x) \leq \frac{x^{2}-4}{x-2}. Determine o valor de
\lim _{x \rightarrow 2} f(x)

Passo 1

O enunciado diz que existe uma função f definida em \mathbb{R} tal que, para todo x\neq2,
-x^{2}+4x \;\le\; f(x)\;\le\;\frac{x^{2}-4}{x-2}.
Queremos \lim_{x\to2}f(x). Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem): se duas funções que “abraçam” f têm o mesmo limite em x\to2, então f tem esse limite também.

Passo 2

Observe a função que está no teto da desigualdade:
\frac{x^{2}-4}{x-2}.
Para x\neq2, podemos fatorar x^{2}-4=(x-2)(x+2) e simplificar:
\frac{x^{2}-4}{x-2} =\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} =x+2.

Passo 3

Agora calculamos os limites das duas funções que limitam f:
  1. Limite da parte de baixo:
\lim_{x\to2}\bigl(-x^{2}+4x\bigr) =\lim_{x\to2}\bigl(-4+8\bigr) =4.
  1. Limite da parte de cima (já simplificada):
\lim_{x\to2}(x+2) =4.

Passo 4

Como para x\neq2 vale
-x^{2}+4x \;\le\; f(x)\;\le\; x+2
e ambas as extremas tendem a 4 quando x\to2, pelo Teorema do Confronto concluímos
\lim_{x\to2}f(x)=4.

Resposta

4

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