[LTV] Resolva o pvi linear de segunda ordem homogêneo com o coeficiente de y(t) variável:
\left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}(t)-t y(t) & \equiv 0 \\\ y(0) & =0 \\\ y^{\prime}(0) & =1 \end{aligned}\right.
usando o “chute” y(t) \equiv Y_{0}+Y_{1} t+Y_{2} t^{2}+\cdots. Neste exercício, basta encontrar os cinco primeiros Y_{n} 's.
FIM! Bons Estudos!

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem
y''(t)-t\,y(t)=0
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1 usando série de potências
y(t)=\sum_{n=0}^{\infty}Y_n\,t^n.
Para isso, vamos substituir a série em y''-t\,y=0 e igualar coeficientes de potências de t, obtendo uma relação de recorrência para os Y_n.

Passo 2

Primeiro escrevemos
y(t)=\sum_{n=0}^\infty Y_n\,t^n, \quad y''(t)=\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)\,Y_{n+2}\,t^n,
e
t\,y(t)=\sum_{n=0}^\infty Y_n\,t^{n+1} =\sum_{n=1}^\infty Y_{n-1}\,t^n.
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\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)Y_{n+2}\,t^n -\sum_{n=1}^\infty Y_{n-1}\,t^n =0.
Igualando coeficientes de t^n a zero, para n=0 e n\ge1 obtemos:

Passo 3

Para n=0:
2\cdot1\,Y_2=0 \quad\Longrightarrow\quad Y_2=0.
Para n\ge1:
(n+2)(n+1)\,Y_{n+2}-Y_{n-1}=0 \quad\Longrightarrow\quad Y_{n+2}=\frac{Y_{n-1}}{(n+2)(n+1)}.

Passo 4

Usamos as condições iniciais:
Y_0=y(0)=0, \quad Y_1=y'(0)=1.
Agora calculamos recursivamente:
n =1: Y_3=\tfrac{Y_0}{3\cdot2}=0.
n =2: Y_4=\tfrac{Y_1}{4\cdot3}=\tfrac{1}{12}.
n =3: Y_5=\tfrac{Y_2}{5\cdot4}=0.

Resposta

Os cinco primeiros coeficientes são
Y_0=0,\quad Y_1=1,\quad Y_2=0,\quad Y_3=0,\quad Y_4=\frac{1}{12}.

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