Calcule integral \iint_{R} \arctan \left(\frac{y}{x}\right) d A, onde R=\left\{(x, y): 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\right..

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{R} \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\,dA
onde
R=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le4\}.
O conteúdo aqui é usar simetria de função ímpar e região simétrica para simplificar a integral.

Passo 2

Note que, para todo (x,y) com x\neq0, vale
\arctan\!\bigl(\tfrac{-y}{x}\bigr) =-\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr),
isto é, a função f(x,y)=\arctan(y/x) é ímpar em y.

Passo 3

A região R é simétrica em relação ao eixo x: se (x,y)\in R então (x,-y)\in R. Como o integrando em (x,y) e em (x,-y) soma zero, toda a integral sobre R se anula.

Resposta

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