Sejam as funções $f(x, y)=y+x^{2}, x(t)=t+1$ e $y(t)=t+4$. Encontre $\frac{d f}{d t}$, utilizando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
. -
.
O que se pede: encontrar
, isto é, a derivada de
em relação a
quando
e
estão dependentes de
, usando a regra da cadeia.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (regra da cadeia para funções de várias variáveis):
Quando é função de
e
, e
e
são funções de
, a derivada total de
em relação a
é dada por
Quando
Aqui cada termo tem o seguinte significado:
-
é a derivada parcial de em relação a : mede quanto muda se só variar (mantendo fixo). -
é a derivada parcial de em relação a : mede quanto muda se só variar (mantendo fixo). -
e são as derivadas das funções e em relação a .
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Derivada parcial em relação a
: ao derivar em relação a , tratamos como constante. A derivada de em relação a é e a derivada de é . Logo,
- Derivada parcial em relação a
: ao derivar em relação a , tratamos como constante. A derivada de em relação a é e a de é . Logo,
Passo 4
Calcular as derivadas de
e
em relação a
.
-
. Derivando em relação a ,
-
. Derivando em relação a ,
Passo 5
Substituir tudo na fórmula da regra da cadeia:
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Passo 6
Expressar a resposta em função de
substituindo
:
Passo 7
Verificação alternativa (checar se bate): compõe-se
diretamente com
e
:
Derivando em relação a
:
o que confirma o resultado.