Sejam as funções $f(x, y)=y+x^{2}, x(t)=t+1$ e $y(t)=t+4$. Encontre $\frac{d f}{d t}$, utilizando a regra da cadeia.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f(x,y)=y+x^{2}.
  • x(t)=t+1.
  • y(t)=t+4.
O que se pede: encontrar \dfrac{df}{dt}, isto é, a derivada de f em relação a t quando x e y estão dependentes de t, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (regra da cadeia para funções de várias variáveis):
Quando f é função de x e y, e x e y são funções de t, a derivada total de f em relação a t é dada por
\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Aqui cada termo tem o seguinte significado:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x: mede quanto f muda se só x variar (mantendo y fixo).
  • \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial de f em relação a y: mede quanto f muda se só y variar (mantendo x fixo).
  • \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} são as derivadas das funções x(t) e y(t) em relação a t.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=y+x^{2}.
  • Derivada parcial em relação a x: ao derivar y+x^{2} em relação a x, tratamos y como constante. A derivada de y em relação a x é 0 e a derivada de x^{2} é 2x. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}=2x.
  • Derivada parcial em relação a y: ao derivar y+x^{2} em relação a y, tratamos x como constante. A derivada de y em relação a y é 1 e a de x^{2} é 0. Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}=1.

Passo 4

Calcular as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t.
  • x(t)=t+1. Derivando em relação a t,
\frac{dx}{dt}=1.
  • y(t)=t+4. Derivando em relação a t,
\frac{dy}{dt}=1.

Passo 5

Substituir tudo na fórmula da regra da cadeia:
\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Substituindo \dfrac{\partial f}{\partial x}=2x, \dfrac{\partial f}{\partial y}=1, \dfrac{dx}{dt}=1 e \dfrac{dy}{dt}=1, obtemos
\frac{df}{dt}=2x\cdot 1 + 1\cdot 1 = 2x+1.

Passo 6

Expressar a resposta em função de t substituindo x=x(t)=t+1:
\frac{df}{dt}=2\bigl(t+1\bigr)+1=2t+2+1=2t+3.

Passo 7

Verificação alternativa (checar se bate): compõe-se f diretamente com x(t) e y(t):
f\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(t+4\bigr)+\bigl(t+1\bigr)^{2}=t+4+t^{2}+2t+1=t^{2}+3t+5.
Derivando em relação a t:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}+3t+5\bigr)=2t+3,
o que confirma o resultado.

Resposta

\dfrac{df}{dt}=2x+1=2t+3

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