Dada a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{r}10-x-2 y, \text { se }(x, y) \neq(-2,2) \\\ k, \text { se }(x, y)=(-2,2)\end{array}\right., determine o valor de $k$, para que $f$ seja contínua em $\mathrm{P}(-2,2)$.
R. $\mathrm{k}=8$

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)=\begin{cases} 10-x-2y, & \text{se }(x,y)\neq(-2,2),\\[4pt] k, & \text{se }(x,y)=(-2,2). \end{cases}
A pergunta é: determinar o valor de k para que f seja contínua no ponto P(-2,2).]

Passo 2

O que significa ser contínua em P(-2,2)?
Definição (função de duas variáveis): f é contínua em (a,b) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b).
Aqui isso significa que f será contínua em (-2,2) exatamente quando
\lim_{(x,y)\to(-2,2)} f(x,y) = k,
pois f(-2,2)=k pela definição da função.

Passo 3

Como f(x,y) fora do ponto é dada por uma expressão linear 10-x-2y, para calcular o limite quando (x,y)\to(-2,2) podemos usar a propriedade: funções polinomiais (ou afins) são contínuas, portanto o limite do seu valor ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor obtido substituindo as coordenadas desse ponto na expressão. Em outras palavras,
\lim_{(x,y)\to(-2,2)} (10-x-2y) = 10-(-2)-2\cdot 2.

Passo 4

Calculemos a expressão obtida no passo anterior, com atenção às contas:
10-(-2)-2\cdot 2 = 10+2-4 = 8.
Portanto
\lim_{(x,y)\to(-2,2)} f(x,y)=8.

Passo 5

Pelo passo 2, para que f seja contínua em (-2,2) devemos ter k igual ao limite calculado. Assim, k deve ser igual a 8.

Resposta

k=8

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