Seja a função abaixo, calcule as derivadas parciais.
f(x, y)=\left\{\begin{array}{r} \frac{x \cdot y}{x+y}, \text { se } \quad(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se } \quad(x, y)=(0,0) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x\,y}{x+y}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O que é pedido: calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}. Implicitamente isso inclui:
  • achar as expressões das derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0);
  • determinar os valores de \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).]

Passo 2

Relembrando o conceito: a derivada parcial de f em relação a x em um ponto trata y como constante e deriva a função em x (e vice-versa para a derivada parcial em y). Ou seja,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\left.\frac{d}{dx}\right|_{y\\ \text{fixo}} f(x,y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\left.\frac{d}{dy}\right|_{x\\ \text{fixo}} f(x,y).
Quando temos uma razão f(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)} (com D\neq0), usamos a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\left(\frac{N}{D}\right)=\frac{N' D - N D'}{D^{2}},
onde N' e D' são as derivadas de N e D em relação à variável que estamos diferenciando.

Passo 3

Aplicando isso a \dfrac{\partial f}{\partial x} para (x,y)\neq(0,0).
Aqui, para derivar em x consideramos y como constante. Definimos
N(x,y)=x\,y,\qquad D(x,y)=x+y.
As derivadas (em relação a x, com y fixo) são
\frac{\partial N}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial D}{\partial x}=1.
Pela regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{\big(\dfrac{\partial N}{\partial x}\big)D - N\big(\dfrac{\partial D}{\partial x}\big)}{D^{2}} =\frac{y(x+y)-x y\cdot 1}{(x+y)^{2}}.
Simplificando o numerador:
y(x+y)-x y = yx + y^{2} - x y = y^{2}.
Logo, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y^{2}}{(x+y)^{2}}.

Passo 4

Agora \dfrac{\partial f}{\partial y} para (x,y)\neq(0,0).
Dessa vez, derivamos em y tratando x como constante. Com
N(x,y)=x\,y,\qquad D(x,y)=x+y,
temos
\frac{\partial N}{\partial y}=x,\qquad \frac{\partial D}{\partial y}=1.
Pela regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{x(x+y)-x y\cdot 1}{(x+y)^{2}} =\frac{x^{2}+x y - x y}{(x+y)^{2}} =\frac{x^{2}}{(x+y)^{2}}.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x^{2}}{(x+y)^{2}}.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais em (0,0) usando a definição (limite unidimensional).
Definição: \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}, isto é, variar x mantendo y=0.
Para h\neq0 temos f(h,0)=\dfrac{h\cdot 0}{h+0}=0. Como f(0,0)=0,
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0.
O limite quando h\to0 é 0. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
Analogamente,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
Para h\neq0 tem-se f(0,h)=\dfrac{0\cdot h}{0+h}=0, então o quociente é 0 e o limite é 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
Observação rápida (para tirar dúvidas): as fórmulas obtidas em passos anteriores não são aplicáveis exatamente em (0,0) porque têm denominador (x+y)^{2} que se anula em (0,0); por isso foi necessário usar a definição por limite nas derivadas parciais no ponto (0,0).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y^{2}}{(x+y)^{2}} para (x,y)\neq(0,0), \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x^{2}}{(x+y)^{2}} para (x,y)\neq(0,0), \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0

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