O que é pedido: calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}. Implicitamente isso inclui:
achar as expressões das derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0);
determinar os valores de \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).]
Passo 2
Relembrando o conceito: a derivada parcial de f em relação a x em um ponto trata y como constante e deriva a função em x (e vice-versa para a derivada parcial em y). Ou seja,
Para h\neq0 tem-se f(0,h)=\dfrac{0\cdot h}{0+h}=0, então o quociente é 0 e o limite é 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
Observação rápida (para tirar dúvidas): as fórmulas obtidas em passos anteriores não são aplicáveis exatamente em (0,0) porque têm denominador (x+y)^{2} que se anula em (0,0); por isso foi necessário usar a definição por limite nas derivadas parciais no ponto (0,0).
Resposta
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y^{2}}{(x+y)^{2}} para (x,y)\neq(0,0), \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x^{2}}{(x+y)^{2}} para (x,y)\neq(0,0), \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0