Sejam as funções $G(x, y, z)=x^{2}+x y+z, x(r, s)=r^{2}, y(r, s)=3 r-2 s$ e $z=z(r, s)=s^{2}$. Encontre as derivadas $\mathrm{G}{\mathrm{r}}$ e $\mathrm{G}{\mathrm{s}}$.
Passo 1
O enunciado dá as funções
e pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
, isto é
e
, considerando
composta com
.
Passo 2
Explicando a ideia que vamos usar (cadeia para funções de várias variáveis): quando
depende de
e cada uma dessas depende de
, a derivada parcial de
em relação a
é a soma das variações de
por cada variável intermédia multiplicadas pela variação dessa variável em relação a
. Em fórmula:
Aqui:
-
significa avaliada em ; -
significa (e assim por diante).
Vou calcular primeiroe depois e, por fim, aplicar as fórmulas acima.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
.
A função é
.
- Para
: derivamos em relação a mantendo fixos. A derivada de é , da parcela (como é constante) é , e de é . Logo,
- Para
: derivando em relação a (com fixos), dá , dá , e dá . Logo,
- Para
: derivando em relação a , só a parcela contribui, com derivada . Logo,
Passo 4
Calcular as derivadas parciais das funções
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia para
.
Primeiro avalio
nas expressões em
substituindo
,
,
:
Usando a fórmula
substituindo os valores:
Passo 6
Agora calculamos
da mesma forma.
Usando
e os valores já encontrados (
,
,
;
,
,
):