Sejam as funções $G(x, y, z)=x^{2}+x y+z, x(r, s)=r^{2}, y(r, s)=3 r-2 s$ e $z=z(r, s)=s^{2}$. Encontre as derivadas $\mathrm{G}{\mathrm{r}}$ e $\mathrm{G}{\mathrm{s}}$.

Passo 1

O enunciado dá as funções
G(x,y,z)=x^{2}+x y+z,
x(r,s)=r^{2},\qquad y(r,s)=3r-2s,\qquad z(r,s)=s^{2},
e pede para encontrar as derivadas parciais de G em relação a r e a s, isto é \mathrm{G}_{r} e \mathrm{G}_{s}, considerando G composta com x(r,s),y(r,s),z(r,s).

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (cadeia para funções de várias variáveis): quando G depende de x,y,z e cada uma dessas depende de r,s, a derivada parcial de G em relação a r é a soma das variações de G por cada variável intermédia multiplicadas pela variação dessa variável em relação a r. Em fórmula:
\frac{\partial G}{\partial r}=G_{x}\,x_{r}+G_{y}\,y_{r}+G_{z}\,z_{r},
\frac{\partial G}{\partial s}=G_{x}\,x_{s}+G_{y}\,y_{s}+G_{z}\,z_{s}.
Aqui:
  • G_{x} significa \dfrac{\partial G}{\partial x} avaliada em (x(r,s),y(r,s),z(r,s));
  • x_{r} significa \dfrac{\partial x}{\partial r} (e assim por diante).
    Vou calcular primeiro G_{x},G_{y},G_{z} e depois x_{r},x_{s},y_{r},y_{s},z_{r},z_{s} e, por fim, aplicar as fórmulas acima.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de G em relação a x,y,z.
A função é G(x,y,z)=x^{2}+x y+z.
  • Para G_{x}: derivamos em relação a x mantendo y,z fixos. A derivada de x^{2} é 2x, da parcela x y (como y é constante) é y, e de z é 0. Logo,
G_{x}=2x+y.
  • Para G_{y}: derivando em relação a y (com x,z fixos), x^{2} 0, x y x, e z 0. Logo,
G_{y}=x.
  • Para G_{z}: derivando em relação a z, só a parcela z contribui, com derivada 1. Logo,
G_{z}=1.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais das funções x(r,s),y(r,s),z(r,s).
  • Para x(r,s)=r^{2}:
x_{r}=\frac{\partial}{\partial r}(r^{2})=2r,\qquad x_{s}=\frac{\partial}{\partial s}(r^{2})=0.
  • Para y(r,s)=3r-2s:
y_{r}=\frac{\partial}{\partial r}(3r-2s)=3,\qquad y_{s}=\frac{\partial}{\partial s}(3r-2s)=-2.
  • Para z(r,s)=s^{2}:
z_{r}=\frac{\partial}{\partial r}(s^{2})=0,\qquad z_{s}=\frac{\partial}{\partial s}(s^{2})=2s.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia para \mathrm{G}_{r}.
Primeiro avalio G_{x},G_{y},G_{z} nas expressões em r,s substituindo x=r^{2}, y=3r-2s, z=s^{2}:
G_{x}(r,s)=2x+y=2r^{2}+(3r-2s)=2r^{2}+3r-2s,
G_{y}(r,s)=x=r^{2},
G_{z}(r,s)=1.
Usando a fórmula
\frac{\partial G}{\partial r}=G_{x}\,x_{r}+G_{y}\,y_{r}+G_{z}\,z_{r},
substituindo os valores:
\begin{aligned} \frac{\partial G}{\partial r} &=(2r^{2}+3r-2s)\cdot(2r)+(r^{2})\cdot 3+1\cdot 0\\[6pt] &=2r(2r^{2}+3r-2s)+3r^{2}\\[6pt] &=4r^{3}+6r^{2}-4rs+3r^{2}\\[6pt] &=4r^{3}+9r^{2}-4r s. \end{aligned}]

Passo 6

Agora calculamos \mathrm{G}_{s} da mesma forma.
Usando
\frac{\partial G}{\partial s}=G_{x}\,x_{s}+G_{y}\,y_{s}+G_{z}\,z_{s},
e os valores já encontrados ( G_{x}=2r^{2}+3r-2s, G_{y}=r^{2}, G_{z}=1; x_{s}=0, y_{s}=-2, z_{s}=2s):
\begin{aligned} \frac{\partial G}{\partial s} &=(2r^{2}+3r-2s)\cdot 0+(r^{2})\cdot(-2)+1\cdot(2s)\\[6pt] &=-2r^{2}+2s. \end{aligned}]

Resposta

\mathrm{G}_{r}=4r^{3}+9r^{2}-4r s
\mathrm{G}_{s}=-2r^{2}+2s

Exercícios relacionados