- Qual é a derivada de
em
, se
tem derivadas de
ordem contínuas e
?
- Seja a lei do gás ideal
. T . Encontre a taxa segundo a qual a temperatura está variando no instante em que o volume do gás é
e o gás está sob uma pressão de
se o volume está aumentando a uma taxa de
e a pressão está decrescendo a uma taxa de
por segundo. Considere
.
Passo 1
Vou listar claramente o que cada parte do enunciado pede e os dados que foram fornecidos.
-
Questão 2:
- Função dada:
. - Informação sobre
: tem derivadas de primeira ordem contínuas. - Valores fornecidos:
e . - Pergunta: determinar a derivada de
em , ou seja, .
- Função dada:
-
Questão 3:
- Lei do gás ideal no enunciado interpretada como
. - Constante:
. - No instante considerado:
e . - Taxas fornecidas:
(volume crescendo) e (pressão decrescendo). - Pergunta: encontrar a taxa
no instante dado.
- Lei do gás ideal no enunciado interpretada como
Passo 2
Questão 2 — entender as variáveis que dependem de
.
- Aqui a função
é composta: os argumentos de são funções de . Vamos definir de modo que - O que a questão pede é
, a derivada de em .
Passo 3
Questão 2 — explicar o conceito que vamos usar (regra da cadeia para funções de várias variáveis) e o que são derivadas parciais.
- Quando
e , a regra da cadeia diz que a derivada total de é Aqui: -
é a derivada parcial de em relação a (mantendo fixo). Interpretação: quanto muda quando só muda. -
é a derivada parcial em relação a . -
e são as taxas com que e mudam com .
-
- Essa fórmula é análoga à regra da cadeia univariada, mas agora somamos as contribuições vindas de cada variável independente
e .
Passo 4
Questão 2 — calcular cada peça e montar
.
- Primeiro calcule
e : - Avaliando em
:
- Usando a regra da cadeia e os valores parciais fornecidos
e : Substituindo:
Passo 5
Questão 2 — pequeno comentário didático e reforço (como aplicar na prova).
- Resumo prático: quando vir
, identifique cada argumento como função de , calcule suas derivadas, e aplique a fórmula da cadeia somando as contribuições com as derivadas parciais avaliadas no ponto correspondente. - Exemplo rápido fora da questão: se
, então .
Passo 6
Questão 3 — preparar os dados e a estratégia.
- A lei é
. Vou isolar para obter uma fórmula explícita ou posso diferenciar implicitamente; ambas dão o mesmo resultado. - Dados no instante considerado:
- Objetivo: calcular
naquele instante.
Passo 7
Questão 3 — diferenciar a relação usando regra do produto.
- Escrever
em função de e : - Derivar ambos os lados em relação ao tempo
. Usando derivada do produto para : Aqui aplicou-se a regra do produto: .
Passo 8
Questão 3 — avaliar numericamente e apresentar a taxa.
- Substituindo os valores numéricos:
Soma: - Finalmente,
- Interpretação rápida: a temperatura está aumentando à razão
(unidades de temperatura por segundo) naquele instante.