1. Qual é a derivada de \mathrm{G}(\mathrm{t})=\mathrm{H}\left(\mathrm{t}^{3}, 5 \mathrm{t}\right) em \mathrm{t}=1, se \mathrm{H}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) tem derivadas de 1^{\mathrm{a}} ordem contínuas e \mathrm{H}_{\mathrm{x}}(1,5)=4, \mathrm{H}_{\mathrm{y}}(1,5)=-2 ?
  2. Seja a lei do gás ideal \mathrm{PV}=\mathrm{k}. T . Encontre a taxa segundo a qual a temperatura está variando no instante em que o volume do gás é 120 \mathrm{~m}^{3} e o gás está sob uma pressão de 8 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} se o volume está aumentando a uma taxa de 2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} e a pressão está decrescendo a uma taxa de 0,1 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} por segundo. Considere \mathrm{k}=10.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada parte do enunciado pede e os dados que foram fornecidos.
  • Questão 2:
    • Função dada: \mathrm{G}(\mathrm{t})=\mathrm{H}\big(\mathrm{t}^{3},5\mathrm{t}\big).
    • Informação sobre \mathrm{H}: tem derivadas de primeira ordem contínuas.
    • Valores fornecidos: \mathrm{H}_{\mathrm{x}}(1,5)=4 e \mathrm{H}_{\mathrm{y}}(1,5)=-2.
    • Pergunta: determinar a derivada de \mathrm{G} em \mathrm{t}=1, ou seja, \mathrm{G}'(1).
  • Questão 3:
    • Lei do gás ideal no enunciado interpretada como \mathrm{P}\,\mathrm{V} = \mathrm{k}\,\mathrm{T}.
    • Constante: \mathrm{k}=10.
    • No instante considerado: \mathrm{V}=120\\ \mathrm{m}^{3} e \mathrm{P}=8\\ \mathrm{N/m}^{2}.
    • Taxas fornecidas: \dfrac{d\mathrm{V}}{dt}=2\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} (volume crescendo) e \dfrac{d\mathrm{P}}{dt}=-0{,}1\\ \mathrm{N/m}^{2}/\mathrm{s} (pressão decrescendo).
    • Pergunta: encontrar a taxa \dfrac{d\mathrm{T}}{dt} no instante dado.

Passo 2

Questão 2 — entender as variáveis que dependem de t.
  • Aqui a função \mathrm{G} é composta: os argumentos de \mathrm{H} são funções de t. Vamos definir x(t)=t^{3},\qquad y(t)=5t,de modo que \mathrm{G}(t)=\mathrm{H}\big(x(t),y(t)\big).
  • O que a questão pede é \mathrm{G}'(1), a derivada de \mathrm{G} em t=1.

Passo 3

Questão 2 — explicar o conceito que vamos usar (regra da cadeia para funções de várias variáveis) e o que são derivadas parciais.
  • Quando \mathrm{H}=\mathrm{H}(x,y) e x=x(t),\,y=y(t), a regra da cadeia diz que a derivada total de \mathrm{G}(t)=\mathrm{H}(x(t),y(t)) é \mathrm{G}'(t)=\mathrm{H}_{x}\big(x(t),y(t)\big)\,\frac{dx}{dt}+\mathrm{H}_{y}\big(x(t),y(t)\big)\,\frac{dy}{dt}.Aqui:
    • \mathrm{H}_{x}(x,y) é a derivada parcial de \mathrm{H} em relação a x (mantendo y fixo). Interpretação: quanto \mathrm{H} muda quando só x muda.
    • \mathrm{H}_{y}(x,y) é a derivada parcial em relação a y.
    • dx/dt e dy/dt são as taxas com que x e y mudam com t.
  • Essa fórmula é análoga à regra da cadeia univariada, mas agora somamos as contribuições vindas de cada variável independente x e y.

Passo 4

Questão 2 — calcular cada peça e montar \mathrm{G}'(1).
  • Primeiro calcule dx/dt e dy/dt: \frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\big(t^{3}\big)=3t^{2},\qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\big(5t\big)=5.
  • Avaliando em t=1: x(1)=1^{3}=1,\qquad y(1)=5\cdot1=5,
\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=1}=3\cdot1^{2}=3,\qquad \left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=1}=5.
  • Usando a regra da cadeia e os valores parciais fornecidos \mathrm{H}_{x}(1,5)=4 e \mathrm{H}_{y}(1,5)=-2: \mathrm{G}'(1)=\mathrm{H}_{x}(1,5)\cdot 3+\mathrm{H}_{y}(1,5)\cdot 5.Substituindo: \mathrm{G}'(1)=4\cdot 3 + (-2)\cdot 5 = 12 - 10 = 2.

Passo 5

Questão 2 — pequeno comentário didático e reforço (como aplicar na prova).
  • Resumo prático: quando vir \mathrm{H}(\text{algo em } t,\\ \text{outro algo em } t), identifique cada argumento como função de t, calcule suas derivadas, e aplique a fórmula da cadeia somando as contribuições com as derivadas parciais avaliadas no ponto correspondente.
  • Exemplo rápido fora da questão: se F(t)=U(2t,t^2), então F'(t)=U_x(2t,t^2)\cdot 2 + U_y(2t,t^2)\cdot 2t.

Passo 6

Questão 3 — preparar os dados e a estratégia.
  • A lei é \mathrm{P}\,\mathrm{V}=\mathrm{k}\,\mathrm{T}. Vou isolar \mathrm{T} para obter uma fórmula explícita ou posso diferenciar implicitamente; ambas dão o mesmo resultado.
  • Dados no instante considerado: \mathrm{P}=8,\qquad \mathrm{V}=120,\qquad \frac{d\mathrm{V}}{dt}=2,\qquad \frac{d\mathrm{P}}{dt}=-0{,}1,\qquad \mathrm{k}=10.
  • Objetivo: calcular \dfrac{d\mathrm{T}}{dt} naquele instante.

Passo 7

Questão 3 — diferenciar a relação usando regra do produto.
  • Escrever \mathrm{T} em função de \mathrm{P} e \mathrm{V}: \mathrm{T}=\frac{\mathrm{P}\,\mathrm{V}}{\mathrm{k}}.
  • Derivar ambos os lados em relação ao tempo t. Usando derivada do produto para \mathrm{P}\,\mathrm{V}: \frac{d\mathrm{T}}{dt}=\frac{1}{\mathrm{k}}\frac{d}{dt}\big(\mathrm{P}\,\mathrm{V}\big) =\frac{1}{\mathrm{k}}\Big(\mathrm{P}\,\frac{d\mathrm{V}}{dt}+\mathrm{V}\,\frac{d\mathrm{P}}{dt}\Big).Aqui aplicou-se a regra do produto: \dfrac{d}{dt}(P V)=P\,dV/dt + V\,dP/dt.

Passo 8

Questão 3 — avaliar numericamente e apresentar a taxa.
  • Substituindo os valores numéricos: \mathrm{P}\,\frac{d\mathrm{V}}{dt}=8\cdot 2=16, \qquad \mathrm{V}\,\frac{d\mathrm{P}}{dt}=120\cdot(-0{,}1)=-12.Soma: \mathrm{P}\,\frac{d\mathrm{V}}{dt}+\mathrm{V}\,\frac{d\mathrm{P}}{dt}=16-12=4.
  • Finalmente, \frac{d\mathrm{T}}{dt}=\frac{1}{\mathrm{k}}\cdot 4=\frac{4}{10}=0{,}4.
  • Interpretação rápida: a temperatura está aumentando à razão 0{,}4 (unidades de temperatura por segundo) naquele instante.

Resposta

\mathrm{G}'(1)=2
\displaystyle \frac{d\mathrm{T}}{dt}=0{,}4

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