Sejam as funções:
f(x)=\sqrt[x]{2} \quad g(x)=x^{2}-4 x+4 \quad h(x)=2-x \quad k(x)=\left|x^{2}-1\right| \quad m(x)=-x^{2}
Calcule:
\lim _{x \rightarrow x_{0}}\left[\frac{g(x)-g\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}\right]=

Passo 1

O enunciado nos dá a função g e pede o valor do limite
\lim_{x\to x_{0}}\left[\frac{g(x)-g\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}\right].
Informações fornecidas relevantes:
  • g(x)=x^{2}-4x+4.
  • x_{0} é um ponto fixo qualquer (constante) no domínio de g.
    O que o problema pede: calcular a expressão do limite em função de x_{0}.

Passo 2

Entendendo o que é essa expressão: \dfrac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}} é a diferença quociente (ou taxa média de variação) de g entre x e x_{0}. Para calcular o limite quando x\to x_{0} vamos manipular algebraicamente o numerador para cancelar o fator x-x_{0} (quando possível), porque no quociente original há divisão por x-x_{0} que fica indeterminada quando x=x_{0}.

Passo 3

Escrevendo explicitamente o numerador usando a expressão de g:
g(x)-g(x_{0}) = \bigl(x^{2}-4x+4\bigr)-\bigl(x_{0}^{2}-4x_{0}+4\bigr).

Passo 4

Agrupando termos semelhantes no numerador:
g(x)-g(x_{0}) = \bigl(x^{2}-x_{0}^{2}\bigr) -4\bigl(x-x_{0}\bigr) + \bigl(4-4\bigr).
Observação: \,4-4=0\,, então:
g(x)-g(x_{0}) = \bigl(x^{2}-x_{0}^{2}\bigr) -4\bigl(x-x_{0}\bigr).

Passo 5

Fatorando a diferença de quadrados \,x^{2}-x_{0}^{2}=(x-x_{0})(x+x_{0}):
g(x)-g(x_{0}) = (x-x_{0})(x+x_{0}) -4(x-x_{0}).
Agora fatoramos (x-x_{0}) em evidência:
g(x)-g(x_{0}) = (x-x_{0})\bigl(x+x_{0}-4\bigr).

Passo 6

Substituindo essa fatoração na diferença quociente:
\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}} = \frac{(x-x_{0})\bigl(x+x_{0}-4\bigr)}{x-x_{0}}.
Para x\neq x_{0} podemos simplificar cancelando o fator (x-x_{0}), obtendo:
\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}} = x+x_{0}-4\qquad(\text{para }x\neq x_{0}).

Passo 7

Agora tomamos o limite quando x\to x_{0}. A expressão simplificada x+x_{0}-4 é contínua em x, logo podemos substituir x=x_{0} diretamente no limite:
\lim_{x\to x_{0}}\left[\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}\right] = \lim_{x\to x_{0}}\bigl(x+x_{0}-4\bigr) = x_{0}+x_{0}-4.

Passo 8

Simplificando a soma:
x_{0}+x_{0}-4 = 2x_{0}-4.
Interpretação: esse é exatamente o valor da derivada de g em x_{0}, g'(x_{0}), pois a definição de derivada é o limite da diferença quociente.

Resposta

2x_{0}-4

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