Informações relevantes dadas diretamente pelo enunciado:
f(x)=2^{1/x}.
h(x)=2-x, portanto |h(x)|=|2-x|.
O restante das funções (g,k,m) não aparece na expressão do limite pedido e não serão usadas.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a expressão usando a fórmula de mudança de base do logaritmo. A fórmula diz que, para bases positivas a\neq 1 e argumento positivo y,
\log_{a}(y)=\frac{\ln(y)}{\ln(a)},
onde \ln é o logaritmo natural. Aqui podemos aplicar com a=|h(x)| e y=f(x), obtendo
Concluímos que o quociente tem a forma “constante diferente de zero dividido por algo que tende a zero”. Isso costuma levar a divergência (tendência a infinito), mas o sinal (+\infty ou -\infty) depende do sinal do denominador quando ele se aproxima de zero.
Passo 4
Precisamos estudar o sinal de \ln\bigl(|h(x)|\bigr)=\ln\bigl(|2-x|\bigr) para x próximo de 1, porque isso determina o sinal do quociente. Note:
Se |2-x|>1 então \ln\bigl(|2-x|\bigr)>0.
Se |2-x|<1 então \ln\bigl(|2-x|\bigr)<0.
Determine em que lados de x=1 cada caso ocorre.
Para x<1 (aproximando-se de 1 pela esquerda), por exemplo x=0{,}9, tem-se 2-x>1 e portanto |2-x|>1, logo \ln\bigl(|2-x|\bigr)>0.
Para x>1 (aproximando-se de 1 pela direita), por exemplo x=1{,}1, tem-se 2-x<1 e portanto |2-x|<1, logo \ln\bigl(|2-x|\bigr)<0.
Portanto o denominador tende para 0 com sinais opostos à esquerda e à direita de x=1.
Passo 5
Agora avalie os limites laterais do quociente usando o que vimos:
Como o numerador \ln\bigl(f(x)\bigr) tende para \ln 2>0 e o denominador tende para 0 por valores positivos quando x\to 1^{-}, o quociente tende para +\infty. Formalmente,
Esses dois limites laterais são diferentes (um vai para +\infty, o outro para -\infty), portanto o limite bilateral não existe.
Passo 6
Comentário didático rápido (como lembrar na prova): quando você transforma \log_{a}(b) em \ln(b)/\ln(a) e obtém no denominador \ln(a)\to 0 enquanto o numerador tende para não zero, o quociente tende a infinito. Verifique sempre o sinal do denominador ao aproximar pela esquerda e pela direita para saber se é +\infty ou -\infty.
Resposta
Não existe.\n\lim_{x\to 1^{-}}\log_{|h(x)|}\bigl(f(x)\bigr)=+\infty\n\lim_{x\to 1^{+}}\log_{|h(x)|}\bigl(f(x)\bigr)=-\infty