Sejam as funções:
f(x)=\sqrt[x]{2} \quad g(x)=x^{2}-4 x+4 \quad h(x)=2-x \quad k(x)=\left|x^{2}-1\right| \quad m(x)=-x^{2}
Calcule:
\lim _{x \rightarrow 1}\left[\log _{|h(x)|}(f(x))\right]=

Passo 1

O enunciado fornece as funções
f(x)=\sqrt[x]{2}, g(x)=x^{2}-4x+4, h(x)=2-x, k(x)=\left|x^{2}-1\right| e m(x)=-x^{2}.
A pergunta é calcular o limite
\lim_{x\to 1}\left[\log_{|h(x)|}\bigl(f(x)\bigr)\right].
Informações relevantes dadas diretamente pelo enunciado:
  • f(x)=2^{1/x}.
  • h(x)=2-x, portanto |h(x)|=|2-x|.
    O restante das funções ( g,k,m) não aparece na expressão do limite pedido e não serão usadas.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a expressão usando a fórmula de mudança de base do logaritmo. A fórmula diz que, para bases positivas a\neq 1 e argumento positivo y,
\log_{a}(y)=\frac{\ln(y)}{\ln(a)},
onde \ln é o logaritmo natural. Aqui podemos aplicar com a=|h(x)| e y=f(x), obtendo
\log_{|h(x)|}\bigl(f(x)\bigr)=\frac{\ln\bigl(f(x)\bigr)}{\ln\bigl(|h(x)|\bigr)}.
Essa forma é útil porque transforma o problema em um limite de quociente de funções em termos de \ln.

Passo 3

Vamos avaliar os valores limites das partes no numerador e denominador quando x\to 1.
  • Numerador: f(x)=2^{1/x}. Assim
f(1)=2^{1/1}=2\quad\Rightarrow\quad \ln\bigl(f(1)\bigr)=\ln 2.
Logo o numerador tende para \ln 2, que é um número positivo e diferente de zero.
  • Denominador: |h(x)|=|2-x|. Temos
|h(1)|=|2-1|=1\quad\Rightarrow\quad \ln\bigl(|h(1)|\bigr)=\ln 1=0.
Portanto o denominador tende para 0.
Concluímos que o quociente tem a forma “constante diferente de zero dividido por algo que tende a zero”. Isso costuma levar a divergência (tendência a infinito), mas o sinal (+ \infty ou -\infty) depende do sinal do denominador quando ele se aproxima de zero.

Passo 4

Precisamos estudar o sinal de \ln\bigl(|h(x)|\bigr)=\ln\bigl(|2-x|\bigr) para x próximo de 1, porque isso determina o sinal do quociente. Note:
  • Se |2-x|>1 então \ln\bigl(|2-x|\bigr)>0.
  • Se |2-x|<1 então \ln\bigl(|2-x|\bigr)<0.
    Determine em que lados de x=1 cada caso ocorre.
  • Para x<1 (aproximando-se de 1 pela esquerda), por exemplo x=0{,}9, tem-se 2-x>1 e portanto |2-x|>1, logo \ln\bigl(|2-x|\bigr)>0.
  • Para x>1 (aproximando-se de 1 pela direita), por exemplo x=1{,}1, tem-se 2-x<1 e portanto |2-x|<1, logo \ln\bigl(|2-x|\bigr)<0.
Portanto o denominador tende para 0 com sinais opostos à esquerda e à direita de x=1.

Passo 5

Agora avalie os limites laterais do quociente usando o que vimos:
  • Como o numerador \ln\bigl(f(x)\bigr) tende para \ln 2>0 e o denominador tende para 0 por valores positivos quando x\to 1^{-}, o quociente tende para +\infty. Formalmente,
\lim_{x\to 1^{-}}\frac{\ln\bigl(f(x)\bigr)}{\ln\bigl(|h(x)|\bigr)}=+\infty.
  • Como o numerador tende para \ln 2>0 e o denominador tende para 0 por valores negativos quando x\to 1^{+}, o quociente tende para -\infty. Formalmente,
\lim_{x\to 1^{+}}\frac{\ln\bigl(f(x)\bigr)}{\ln\bigl(|h(x)|\bigr)}=-\infty.
Esses dois limites laterais são diferentes (um vai para +\infty, o outro para -\infty), portanto o limite bilateral não existe.

Passo 6

Comentário didático rápido (como lembrar na prova): quando você transforma \log_{a}(b) em \ln(b)/\ln(a) e obtém no denominador \ln(a)\to 0 enquanto o numerador tende para não zero, o quociente tende a infinito. Verifique sempre o sinal do denominador ao aproximar pela esquerda e pela direita para saber se é +\infty ou -\infty.

Resposta

Não existe.\n \lim_{x\to 1^{-}}\log_{|h(x)|}\bigl(f(x)\bigr)=+\infty\n \lim_{x\to 1^{+}}\log_{|h(x)|}\bigl(f(x)\bigr)=-\infty

Exercícios relacionados