Sejam as funções:
f(x)=\sqrt[x]{2} \quad g(x)=x^{2}-4 x+4 \quad h(x)=2-x \quad k(x)=\left|x^{2}-1\right| \quad m(x)=-x^{2}
Calcule:
\lim _{x \rightarrow 2}[\log g(x)]=

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=\sqrt[x]{2},\qquad g(x)=x^{2}-4x+4,\qquad h(x)=2-x,\qquad k(x)=\left|x^{2}-1\right|,\qquad m(x)=-x^{2},
e pede calcular
\lim_{x\to 2}[\log g(x)].
Informações relevantes fornecidas:
  • A função que interessa para o limite é g(x)=x^{2}-4x+4.
  • Em x=2 temos g(2)=2^{2}-4\cdot2+4=4-8+4=0.
  • O logaritmo natural \log(\cdot) só está definido para argumentos positivos, ou seja, precisamos que g(x)>0 para avaliar \log g(x).

Passo 2

Vamos verificar o sinal de g(x) perto de x=2, porque a definição do \log depende disso.
Calculo e fatoração de g(x):
g(x)=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
Observação importante: para todo x diferente de 2 tem-se (x-2)^{2}>0. Em x=2 vale (x-2)^{2}=0. Portanto, em qualquer vizinhança de x=2 (exceto no próprio ponto x=2) temos g(x)>0, logo \log g(x) está bem definida em pontos próximos a 2 (exceto exatamente em 2).

Passo 3

Usamos uma propriedade básica dos logaritmos: se u>0 e a é real então \log(u^{a})=a\,\log u. Aplicando com u=|x-2| e a=2 (note que (x-2)^{2}=|x-2|^{2}):
\log g(x)=\log\big((x-2)^{2}\big)=2\log\big(|x-2|\big),
válido para x\neq2 (onde |x-2|>0).

Passo 4

Agora analisamos o comportamento de \log\big(|x-2|\big) quando x\to2. Como |x-2|\to 0^{+} quando x\to2, lembramos do limite clássico
\lim_{t\to 0^{+}}\log t = -\infty.
Explicação intuitiva e por sequências: escolha a sequência x_{n}=2+\tfrac{1}{n} que tende a 2. Então |x_{n}-2|=\tfrac{1}{n} e
\log\big(|x_{n}-2|\big)=\log\!\left(\tfrac{1}{n}\right)=-\log n \longrightarrow -\infty\quad\text{quando }n\to\infty.
Como existe uma sequência que aproxima 2 e faz \log|x-2|\to -\infty, e o mesmo ocorre por qualquer caminho (porque |x-2| tende a 0^{+} indiferente do lado), concluímos que
\lim_{x\to2}\log\big(|x-2|\big) = -\infty.

Passo 5

Voltando à expressão de \log g(x):
\log g(x)=2\log\big(|x-2|\big).
Multiplicar por 2 preserva o limite infinito negativo, ou seja, se \log|x-2|\to -\infty então 2\log|x-2|\to -\infty. Portanto
\lim_{x\to2}\log g(x) = -\infty.

Resposta

-\infty

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