Sejam as funções:
f(x)=\sqrt[x]{2} \quad g(x)=x^{2}-4 x+4 \quad h(x)=2-x \quad k(x)=\left|x^{2}-1\right| \quad m(x)=-x^{2}
Calcule:
\lim _{x \rightarrow 2}[\log g(x)]=

Passo 1

O enunciado dá as funções e pede especificamente o valor do limite
\lim_{x\to 2}[\log g(x)]
onde g(x)=x^{2}-4x+4. Informações relevantes:
  • g(x)=x^{2}-4x+4.
  • A expressão pedida é \log(g(x)) quando x se aproxima de 2.
  • É preciso observar o comportamento de g(x) perto de x=2 e a definição do logaritmo (o logaritmo só está definido para argumentos positivos).

Passo 2

Fatorar g(x) para ver seu comportamento perto de x=2. Calcular:
g(x)=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
Isto mostra que g(x) é sempre não-negativa e que g(2)=0.

Passo 3

Verificar o valor de g(x) quando x tende a 2:
\lim_{x\to 2} g(x)=\lim_{x\to 2}(x-2)^{2}=0.
Como g(x)=(x-2)^{2}\ge 0 para todo x e para x\ne 2 temos g(x)>0, o argumento do logaritmo se aproxima de 0 por valores positivos (isto é, tende a 0^{+}).

Passo 4

Relembrar uma propriedade útil do logaritmo: para todo número real t com t>0,
\log(t^{2})=2\log t.
No nosso caso t=|x-2| satisfaz t>0 quando x\ne 2, e como g(x)=(x-2)^{2}=|x-2|^{2} podemos escrever, para x\ne 2,
\log(g(x))=\log\bigl((x-2)^{2}\bigr)=\log\bigl(|x-2|^{2}\bigr)=2\log\bigl(|x-2|\bigr).

Passo 5

Estudar o limite de \log\bigl(|x-2|\bigr) quando x\to 2. Fazendo a substituição y=|x-2| obtemos y\to 0^{+} quando x\to 2. Sabe-se que a função logarítmica tem o comportamento
\lim_{y\to 0^{+}}\log y = -\infty,
porque \log y decresce sem limite quando y se aproxima de 0 pela direita.

Passo 6

Usar o resultado do passo anterior na expressão obtida no passo 4:
\lim_{x\to 2}\log(g(x))=\lim_{x\to 2}2\log\bigl(|x-2|\bigr)=2\cdot\lim_{x\to 2}\log\bigl(|x-2|\bigr).
Como \lim_{x\to 2}\log\bigl(|x-2|\bigr)=-\infty, multiplicar por 2 preserva a divergência para -\infty.

Passo 7

Concluir o valor do limite:
\lim_{x\to 2}\log(g(x))=-\infty.

Resposta

-\infty

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