Sejam as funções:
f(x)=\sqrt[x]{2} \quad g(x)=x^{2}-4 x+4 \quad h(x)=2-x \quad k(x)=\left|x^{2}-1\right| \quad m(x)=-x^{2}
Calcule:
\lim _{x \rightarrow 1}\left[\log _{|h(x)|}(f(x))\right]=

Passo 1

O enunciado dá as funções e pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\left[\log_{|h(x)|}\bigl(f(x)\bigr)\right].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • f(x)=\sqrt[x]{2}=2^{1/x}.
  • h(x)=2-x, portanto |h(x)|=|2-x| será a base do logaritmo.
  • O que se pede é o limite quando x tende para 1 (limite bilateral, a menos que se peça o contrário).
  • Note que no ponto x=1 temos |h(1)|=|2-1|=1, então a base do logaritmo vale 1 exatamente em x=1. Isso indica que pode haver problemas na substituição direta, pois logaritmo com base 1 não é definido; por isso o valor do limite precisa ser analisado com cuidado.

Passo 2

Trocar a base do logaritmo para uma expressão que possamos manipular: usar a fórmula de mudança de base.
  • Teorema (fórmula de mudança de base): para a>0, a\neq 1, e b>0, b\neq 1, vale
\log_a(b)=\frac{\ln(b)}{\ln(a)},
onde \ln é o logaritmo natural.
Explicação didática: \ln é apenas um logaritmo numa base fixa ( e), e a razão \dfrac{\ln(b)}{\ln(a)} traduz o logaritmo em qualquer base a em termos de \ln. Isso vale sempre que as bases sejam positivas e distintas de 1.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao nosso caso:
\log_{|h(x)|}\bigl(f(x)\bigr)=\frac{\ln\bigl(f(x)\bigr)}{\ln\bigl(|h(x)|\bigr)} =\frac{\ln\!\bigl(2^{1/x}\bigr)}{\ln\!\bigl(|2-x|\bigr)}.
Usar a propriedade do logaritmo \ln(a^b)=b\ln(a) para simplificar o numerador:
\ln\!\bigl(2^{1/x}\bigr)=\frac{1}{x}\ln 2.
Portanto a expressão do limite fica
\frac{\frac{1}{x}\ln 2}{\ln\!\bigl(|2-x|\bigr)}=\frac{\ln 2}{x\,\ln\!\bigl(|2-x|\bigr)}.

Passo 4

Analisar o comportamento das duas partes quando x\to 1.
  • O numerador \ln 2 é constante e positivo: \ln 2>0.
  • O fator x no denominador tende para 1, isto é x\to 1\Rightarrow x\to 1.
  • O termo crítico é \ln\!\bigl(|2-x|\bigr). Como |2-x|\to |2-1|=1, temos \ln\!\bigl(|2-x|\bigr)\to \ln 1=0. Logo o limite é de uma constante positiva dividida por algo que tende a 0, o que pode produzir \pm\infty ou indeterminação de sinal; é necessário estudar os sinais ao aproximar por esquerda e por direita.

Passo 5

Estudar o limite pela esquerda x\to 1^- (valores de x menores que 1, aproximando 1):
  • Se x<1 e próximo de 1, então 2-x>1, logo |2-x|=2-x>1. Assim \ln\!\bigl(|2-x|\bigr)>0.
  • Quando x\to 1^-, \ln\!\bigl(|2-x|\bigr) tende para 0 por valores positivos (tende para 0^{+}).
  • O numerador \ln 2 é fixo e positivo, e x\to 1 no denominador não altera o sinal. Portanto a fração
\frac{\ln 2}{x\,\ln\!\bigl(|2-x|\bigr)}
tem numerador positivo dividido por um número positivo que tende a 0^{+}; o quociente tende a +\infty.
Conclusão:
\lim_{x\to 1^-}\log_{|h(x)|}\bigl(f(x)\bigr)=+\infty.

Passo 6

Estudar o limite pela direita x\to 1^+ (valores de x maiores que 1, aproximando 1):
  • Se x>1 e próximo de 1, então 2-x<1 mas ainda positivo (pois 2-x>0 para x<2), logo |2-x|=2-x e 0<|2-x|<1. Assim \ln\!\bigl(|2-x|\bigr)<0.
  • Quando x\to 1^+, \ln\!\bigl(|2-x|\bigr) tende para 0 por valores negativos (tende para 0^{-}).
  • O numerador continua positivo, então a fração é positiva dividido por um número que tende a 0^{-}, o que faz a fração tender a -\infty.
    Conclusão:
\lim_{x\to 1^+}\log_{|h(x)|}\bigl(f(x)\bigr)=-\infty.

Passo 7

Concluir sobre o limite bilateral pedido:
  • As duas semi-limites existem, mas são diferentes ( +\infty e -\infty). Portanto o limite bilateral
\lim_{x\to 1}\log_{|h(x)|}\bigl(f(x)\bigr)
não existe como um número real nem como \pm\infty único. Deve-se dizer que o limite não existe, especificando o comportamento lateral.

Resposta

Não existe; \lim_{x\to 1^-}\log_{|h(x)|}\bigl(f(x)\bigr)=+\infty e \lim_{x\to 1^+}\log_{|h(x)|}\bigl(f(x)\bigr)=-\infty.

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