h(x)=2-x, portanto |h(x)|=|2-x| será a base do logaritmo.
O que se pede é o limite quando x tende para 1 (limite bilateral, a menos que se peça o contrário).
Note que no ponto x=1 temos |h(1)|=|2-1|=1, então a base do logaritmo vale 1 exatamente em x=1. Isso indica que pode haver problemas na substituição direta, pois logaritmo com base 1 não é definido; por isso o valor do limite precisa ser analisado com cuidado.
Passo 2
Trocar a base do logaritmo para uma expressão que possamos manipular: usar a fórmula de mudança de base.
Teorema (fórmula de mudança de base): para a>0, a\neq 1, e b>0, b\neq 1, vale
\log_a(b)=\frac{\ln(b)}{\ln(a)},
onde \ln é o logaritmo natural.
Explicação didática: \ln é apenas um logaritmo numa base fixa (e), e a razão \dfrac{\ln(b)}{\ln(a)} traduz o logaritmo em qualquer base a em termos de \ln. Isso vale sempre que as bases sejam positivas e distintas de 1.
Analisar o comportamento das duas partes quando x\to 1.
O numerador \ln 2 é constante e positivo: \ln 2>0.
O fator x no denominador tende para 1, isto é x\to 1\Rightarrow x\to 1.
O termo crítico é \ln\!\bigl(|2-x|\bigr). Como |2-x|\to |2-1|=1, temos \ln\!\bigl(|2-x|\bigr)\to \ln 1=0. Logo o limite é de uma constante positiva dividida por algo que tende a 0, o que pode produzir \pm\infty ou indeterminação de sinal; é necessário estudar os sinais ao aproximar por esquerda e por direita.
Passo 5
Estudar o limite pela esquerda x\to 1^- (valores de x menores que 1, aproximando 1):
Se x<1 e próximo de 1, então 2-x>1, logo |2-x|=2-x>1. Assim \ln\!\bigl(|2-x|\bigr)>0.
Quando x\to 1^-, \ln\!\bigl(|2-x|\bigr) tende para 0 por valores positivos (tende para 0^{+}).
O numerador \ln 2 é fixo e positivo, e x\to 1 no denominador não altera o sinal. Portanto a fração
\frac{\ln 2}{x\,\ln\!\bigl(|2-x|\bigr)}
tem numerador positivo dividido por um número positivo que tende a 0^{+}; o quociente tende a +\infty.
Conclusão: