Sejam as funções:
f(x)=\sqrt[x]{2} \quad g(x)=x^{2}-4 x+4 \quad h(x)=2-x \quad k(x)=\left|x^{2}-1\right| \quad m(x)=-x^{2}
Calcule:
\lim _{x \rightarrow 2}[g(x)]^{\frac{1}{h^{2}(x)}}=

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=\sqrt[x]{2},\quad g(x)=x^{2}-4x+4,\quad h(x)=2-x,\quad k(x)=\left|x^{2}-1\right|,\quad m(x)=-x^{2}
e pede para calcular o limite
\lim_{x\to 2}\bigl[g(x)\bigr]^{\frac{1}{h^{2}(x)}}.
As informações relevantes que temos diretamente do enunciado são as expressões de g(x) e h(x) acima e o ponto para o qual x tende, que é x\to 2. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Vamos manipular as expressões de g e h para escrever a função do limite numa forma mais simples (isto é parte do processo resolutivo, que agora começa).
Primeiro, fatorando g(x):
g(x)=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
E para h(x):
h(x)=2-x\quad\Rightarrow\quad h^{2}(x)=(2-x)^{2}=(x-2)^{2}.
Substituindo essas formas na expressão do limite, obtemos
\bigl[g(x)\bigr]^{\frac{1}{h^{2}(x)}}=\bigl((x-2)^{2}\bigr)^{\frac{1}{(x-2)^{2}}}.
Para ficar mais limpo, defina
A=(x-2)^{2}.
Ao aproximar x de 2 temos A\to 0^{+} (pois (x-2)^{2}\ge 0 e para x\neq2 é positivo). Assim a expressão se torna
A^{\frac{1}{A}}.

Passo 3

Agora identifique o tipo de indeterminação: quando A\to 0^{+} a forma A^{1/A} é do tipo 0^{+\infty} — a base tende a 0 e o expoente tende a +\infty. Para lidar com esse tipo de expressão usamos a transformação que troca potência por exponencial e logaritmo, válida quando a base é positiva (o que é o caso para A>0):
A^{\frac{1}{A}}=e^{\frac{1}{A}\ln A}=e^{\frac{\ln A}{A}}.
Portanto o limite procurado é
\lim_{A\to 0^{+}}A^{\frac{1}{A}}=\exp\!\left(\lim_{A\to 0^{+}}\frac{\ln A}{A}\right),
desde que o limite interno exista em [-\infty,+\infty].

Passo 4

Precisamos calcular
L=\lim_{A\to 0^{+}}\frac{\ln A}{A}.
Uma técnica prática é fazer a substituição A=e^{-u}. Quando A\to 0^{+} temos u\to +\infty. Faça a mudança na expressão:
\frac{\ln A}{A}=\frac{\ln\bigl(e^{-u}\bigr)}{e^{-u}}=\frac{-u}{e^{-u}}=-u\,e^{u}.

Passo 5

Estude o comportamento de -u\,e^{u} quando u\to +\infty. O fator e^{u} cresce muito mais rápido que u, portanto o produto u\,e^{u}\to +\infty, e com o sinal negativo
-u\,e^{u}\to -\infty\quad\text{quando }u\to+\infty.
Voltando à variável A, isso significa
\lim_{A\to 0^{+}}\frac{\ln A}{A}=-\infty.

Passo 6

Como
\lim_{A\to 0^{+}}\frac{\ln A}{A}=-\infty,
temos
\lim_{A\to 0^{+}}A^{\frac{1}{A}}=\exp(-\infty)=0.
Portanto o limite original também vale 0. Uma interpretação intuitiva: a base vai para 0 muito rapidamente frente ao crescimento do expoente, de modo que o valor total tende a zero.

Passo 7

Resumo final e uma palavra de incentivo: transformamos a potência em exponencial com logaritmo, avaliamos a razão \ln A/A com uma substituição razoável e vimos que ela diverge para -\infty, o que leva a exponencial a zero. Bom trabalho — esse tipo de manipulação (usar e^{\ln(\cdot)}) é um truque muito útil para limite de formas do tipo 0^{\infty}, 1^{\infty}, etc. Pratique mais alguns exemplos parecidos para ganhar confiança!

Resposta

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