As informações relevantes que temos diretamente do enunciado são as expressões de g(x) e h(x) acima e o ponto para o qual x tende, que é x\to 2. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Vamos manipular as expressões de g e h para escrever a função do limite numa forma mais simples (isto é parte do processo resolutivo, que agora começa).
Primeiro, fatorando g(x):
Ao aproximar x de 2 temos A\to 0^{+} (pois (x-2)^{2}\ge 0 e para x\neq2 é positivo). Assim a expressão se torna
A^{\frac{1}{A}}.
Passo 3
Agora identifique o tipo de indeterminação: quando A\to 0^{+} a forma A^{1/A} é do tipo 0^{+\infty} — a base tende a 0 e o expoente tende a +\infty. Para lidar com esse tipo de expressão usamos a transformação que troca potência por exponencial e logaritmo, válida quando a base é positiva (o que é o caso para A>0):
Estude o comportamento de -u\,e^{u} quando u\to +\infty. O fator e^{u} cresce muito mais rápido que u, portanto o produto u\,e^{u}\to +\infty, e com o sinal negativo
Portanto o limite original também vale 0. Uma interpretação intuitiva: a base vai para 0 muito rapidamente frente ao crescimento do expoente, de modo que o valor total tende a zero.
Passo 7
Resumo final e uma palavra de incentivo: transformamos a potência em exponencial com logaritmo, avaliamos a razão \ln A/A com uma substituição razoável e vimos que ela diverge para -\infty, o que leva a exponencial a zero. Bom trabalho — esse tipo de manipulação (usar e^{\ln(\cdot)}) é um truque muito útil para limite de formas do tipo 0^{\infty}, 1^{\infty}, etc. Pratique mais alguns exemplos parecidos para ganhar confiança!