Sejam as funções:
f(x)=\sqrt[x]{2} \quad g(x)=x^{2}-4 x+4 \quad h(x)=2-x \quad k(x)=\left|x^{2}-1\right| \quad m(x)=-x^{2}
Calcule:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{[h(x)]^{7}-x^{7}}{-2[h(x)-1]}\right)=

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=\sqrt[x]{2},\quad g(x)=x^{2}-4x+4,\quad h(x)=2-x,\quad k(x)=\left|x^{2}-1\right|,\quad m(x)=-x^{2}
e pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{[h(x)]^{7}-x^{7}}{-2[h(x)-1]}\right).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • h(x)=2-x.
  • h(1)=2-1=1.
  • Ao substituir x=1 diretamente no numerador e no denominador obtemos 0/0 (indeterminação), então será preciso manipular algebraicamente a expressão.

Passo 2

Verifiquemos a indeterminação por substituição direta:
[h(1)]^{7}-1^{7}=1^{7}-1^{7}=0, \qquad -2[h(1)-1]=-2[1-1]=0.
Portanto a forma é \tfrac{0}{0} e precisamos fatorar ou simplificar a expressão antes de tomar o limite.

Passo 3

Vamos usar a fatoração conhecida para diferença de potências. Para quaisquer a e b e inteiro n\ge1 vale
a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}.
Explicação rápida dessa identidade: ao multiplicar (a-b) pela soma à direita, os termos se telescopam, sobrando exatamente a^{n}-b^{n}. Um exemplo simples para n=3:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).

Passo 4

Aplique a identidade com a=h(x), b=x e n=7. Então o numerador se escreve
[h(x)]^{7}-x^{7}=(h(x)-x)\sum_{k=0}^{6}[h(x)]^{6-k}x^{k}.
Denotando
S(x)=\sum_{k=0}^{6}[h(x)]^{6-k}x^{k},
temos
[h(x)]^{7}-x^{7}=(h(x)-x)\,S(x).

Passo 5

Calcule h(x)-x explicitamente:
h(x)-x=(2-x)-x=2-2x=2(1-x)=-2(x-1).

Passo 6

Simplifique o denominador -2[h(x)-1]:
-2[h(x)-1]=-2[(2-x)-1]=-2(1-x)=2(x-1).

Passo 7

Substituindo as expressões do numerador e do denominador na fração original obtemos
\frac{[h(x)]^{7}-x^{7}}{-2[h(x)-1]} =\frac{(h(x)-x)\,S(x)}{2(x-1)} =\frac{-2(x-1)\,S(x)}{2(x-1)}.
Para x\neq 1 podemos cancelar o fator (x-1) (isso é válido pois estamos estudando o limite quando x se aproxima de 1, não o valor no ponto). Após o cancelamento fica
\frac{[h(x)]^{7}-x^{7}}{-2[h(x)-1]}=-S(x).

Passo 8

Agora tomamos o limite quando x\to 1. Pelo passo anterior,
\lim_{x\to 1}\frac{[h(x)]^{7}-x^{7}}{-2[h(x)-1]} =\lim_{x\to 1}\big(-S(x)\big)=-\lim_{x\to 1}S(x).
Como S(x) é soma de potências de funções contínuas, podemos avaliar o limite substituindo x=1. Para x\to1 temos h(x)\to h(1)=1 e x\to1, então cada termo em S(x) tende a 1. Como são 7 termos na soma,
\lim_{x\to 1}S(x)=7.

Passo 9

Portanto o limite pedido é
\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{[h(x)]^{7}-x^{7}}{-2[h(x)-1]}\right)=-7.

Resposta

-7

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