Portanto a forma é \tfrac{0}{0} e precisamos fatorar ou simplificar a expressão antes de tomar o limite.
Passo 3
Vamos usar a fatoração conhecida para diferença de potências. Para quaisquer a e b e inteiro n\ge1 vale
a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}.
Explicação rápida dessa identidade: ao multiplicar (a-b) pela soma à direita, os termos se telescopam, sobrando exatamente a^{n}-b^{n}. Um exemplo simples para n=3:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Passo 4
Aplique a identidade com a=h(x), b=x e n=7. Então o numerador se escreve
Para x\neq 1 podemos cancelar o fator (x-1) (isso é válido pois estamos estudando o limite quando x se aproxima de 1, não o valor no ponto). Após o cancelamento fica
\frac{[h(x)]^{7}-x^{7}}{-2[h(x)-1]}=-S(x).
Passo 8
Agora tomamos o limite quando x\to 1. Pelo passo anterior,
Como S(x) é soma de potências de funções contínuas, podemos avaliar o limite substituindo x=1. Para x\to1 temos h(x)\to h(1)=1 e x\to1, então cada termo em S(x) tende a 1. Como são 7 termos na soma,