Sejam as funções
e
, definidas por
e
, com a e
reais positivos e diferentes de 1. Se a função composta fog(10) é igual a 10, então
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre duas funções:
e
, onde
e
são números reais positivos diferentes de 1. A gente precisa descobrir uma relação entre
e
sabendo que a função composta
é igual a 10. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções compostas e propriedades dos logaritmos e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função composta
. Isso quer dizer que a gente vai aplicar a função
no número 10 e depois aplicar a função
no resultado dessa primeira aplicação.
Passo 3
Vamos calcular
. Como
, substituímos
por 10:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a função
no resultado que encontramos, ou seja, aplicar
em
. A função
, então:
Passo 5
Sabemos que
. Então, podemos escrever:
Agora, vamos lembrar da propriedade dos logaritmos que diz que
. Aplicando isso aqui:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 10:
Passo 7
Agora, temos
. Isso significa que
elevado a 1 é igual a
, ou seja:
Resposta
A relação entre
e
é que eles são iguais, ou seja,
.