Sejam as funções f: R^star+ R e g: R R^star+, definidas por f(x)=log k x
e
g(x)=a^x
, com a e k reais positivos e diferentes de 1. Se a função composta fog(10) é igual a 10, então

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre duas funções: e , onde e são números reais positivos diferentes de 1. A gente precisa descobrir uma relação entre e sabendo que a função composta é igual a 10. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções compostas e propriedades dos logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função composta . Isso quer dizer que a gente vai aplicar a função no número 10 e depois aplicar a função no resultado dessa primeira aplicação.

Passo 3

Vamos calcular g(10) = a^10 . Como , substituímos por 10:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a função f(g(10)) = f(a^10) = logk (a^10) no resultado que encontramos, ou seja, aplicar em . A função , então:

Passo 5

Sabemos que logk (a^10) = 10 . Então, podemos escrever:
10 cdot logk a = 10
Agora, vamos lembrar da propriedade dos logaritmos que diz que . Aplicando isso aqui:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 10:
logk a = 1

Passo 7

Agora, temos k^1 = a Rightarrow a = k . Isso significa que elevado a 1 é igual a , ou seja:

Resposta

A relação entre e é que eles são iguais, ou seja, .

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