Sejam as funções de transferência abaixo. Localize zeros e pólos no plano imaginário
real. Os sistemas são estáveis?
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente pegar a função de transferência
e:
- localizar os zeros (raízes do numerador) e os polos (raízes do denominador) no plano complexo (parte real × parte imaginária);
- dizer se o sistema é estável (ou seja, todos os polos têm parte real negativa).
Para isso vamos precisar de:
- fatorar o numerador (achar as raízes
); - fatorar o denominador, primeiro encontrando raízes inteiras (via tentativa/racional), depois quebrando o polinômio de grau 4 resultante em dois quadráticos;
- interpretar os resultados (pólos no semiplano esquerdo → sistema estável).
Passo 2
Achar os zeros: resolvemos
Usando a fórmula
, vem
Ou seja, zeros em
e
, ambos no eixo real.
Passo 3
Agora o denominador
Procuramos uma raiz inteira via tentativa (teorema de raízes racionais). Testando
dá zero:
Logo,
é um polo. Fazendo divisão sintética por
descobrimos que
Passo 4
Para quebrar o quartic
em quadráticos, suponha
Igualando coeficientes e usando
, achamos a=4, b=29, c=16, d=73, ou seja
Passo 5
Agora cada quadrático dá dois polos complexos:
-
→ (pois ); -
→ (pois ).
Somando o polo real já achado, a lista completa de polos é
Passo 6
Estabilidade: um sistema LTI contínuo é estável se todos os polos tiverem parte real negativa. Aqui vemos
(reais negativas) e as partes reais dos complexos
e
também são negativas.
Logo, é estável.
Logo, é estável.
Resposta
Zeros:
(RHP),
(LHP)
Polos: ,
,
(todos no semiplano esquerdo)
O sistema é estável.
Polos:
O sistema é estável.