Sejam as funções de transferência abaixo. Localize zeros e pólos no plano imaginário times real. Os sistemas são estáveis?
s^2+2 s-3s^5+24 s^4+246 s^3+1420 s^2+5141 s+8468

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente pegar a função de transferência
G(s)=s^2+2s-3s^5+24s^4+246s^3+1420s^2+5141s+8468
e:
  1. localizar os zeros (raízes do numerador) e os polos (raízes do denominador) no plano complexo (parte real × parte imaginária);
  2. dizer se o sistema é estável (ou seja, todos os polos têm parte real negativa).
Para isso vamos precisar de:
  • fatorar o numerador (achar as raízes );
  • fatorar o denominador, primeiro encontrando raízes inteiras (via tentativa/racional), depois quebrando o polinômio de grau 4 resultante em dois quadráticos;
  • interpretar os resultados (pólos no semiplano esquerdo → sistema estável).

Passo 2

Achar os zeros: resolvemos
s^2+2s-3=0
Usando a fórmula s0,1=1, s0,2=-3 , vem
Ou seja, zeros em e , ambos no eixo real.

Passo 3

Agora o denominador
D(s)=s^5+24s^4+246s^3+1420s^2+5141s+8468
Procuramos uma raiz inteira via tentativa (teorema de raízes racionais). Testando (-4)^5+24(-4)^4+dots+8468=0 dá zero:
D(s)=(s+4)l(s^4+20s^3+166s^2+756s+2117r)
Logo, é um polo. Fazendo divisão sintética por descobrimos que

Passo 4

Para quebrar o quartic (s^2+as+b)(s^2+cs+d)=s^4+20s^3+166s^2+756s+2117 em quadráticos, suponha
s^4+20s^3+166s^2+756s+2117=(s^2+4s+29)(s^2+16s+73)
Igualando coeficientes e usando , achamos a=4, b=29, c=16, d=73, ou seja

Passo 5

Agora cada quadrático dá dois polos complexos:
  1. s=-4, s=-2pm j5, s=-8pm j3 (pois );
  2. (pois ).
Somando o polo real já achado, a lista completa de polos é

Passo 6

Estabilidade: um sistema LTI contínuo é estável se todos os polos tiverem parte real negativa. Aqui vemos
(reais negativas) e as partes reais dos complexos e também são negativas.
Logo, é estável.

Resposta

Zeros: (RHP), (LHP)
Polos: , , (todos no semiplano esquerdo)
O sistema é estável.

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