Determine a função de transferência dos sistemas cujas equações diferenciais são:
dddotx+6 ddotx+25 dotx=u(t) u(t)=K(doty+5 y)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra encontrar as funções de transferência de dois “sistemas” descritos por equações diferenciais:
  1. A planta:
dddotx(t) + 6,ddotx(t) + 25,dotx(t) = u(t)
  1. O “controlador” (ou elemento que gera u(t) = K l(doty(t) + 5,y(t)r) ):
O conteúdo que vamos usar é Transformada de Laplace para converter derivadas em multiplicação por e, assim, montar as razões e . A gente assume condições iniciais nulas (zero initial conditions) pra simplificar.

Passo 2

Transformando a equação da planta em Laplace (com Ldddotx + 6,Lddotx + 25,Ldotx = Lu Longrightarrow s^3 X(s) + 6,s^2 X(s) + 25,s,X(s) = U(s) ):
X(s)l(s^3 + 6s^2 + 25sr) = U(s) Longrightarrow X(s)U(s) = 1s^3 + 6s^2 + 25s = 1s,(s^2 + 6s + 25)
Fatorando :

Passo 3

Agora a equação do “controlador” em Laplace (com U(s) = Kl(s,Y(s) + 5,Y(s)r) = K,(s+5),Y(s) Longrightarrow U(s)Y(s) = K,(s+5) , ):

Resposta

Funções de transferência solicitadas:
boxed X(s)U(s) = 1s,(s^2 + 6s + 25) e U(s)Y(s) = K,(s+5)
Se quiser a relação direta X(s)Y(s) = K,(s+5)s,(s^2 + 6s + 25) , basta multiplicar as duas:

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