1. Sejam G um grupo e \left\{H_{i}: i \in I\right\} uma família indexada de subgrupos de G. Mostre que
\left(\bigcap_{i \in I} H_{i}\right) a=\bigcap_{i \in I} H_{i} a, \forall a \in G .

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um grupo G.
  • Uma família indexada de subgrupos \{H_{i}: i\in I\} de G.
  • Um elemento fixo arbitrário a\in G.
O que se pede:
  • Mostrar que, para todo a\in G,
\left(\bigcap_{i\in I} H_{i}\right)a = \bigcap_{i\in I} (H_{i}a).
Informações relevantes que temos (retiradas do enunciado e da definição de subgrupo):
  • Cada H_{i} é subgrupo de G, isto é, contém a identidade e, é fechado sob produto e contém inversos.
  • Para um subconjunto H\subseteq G e a\in G, o conjunto Ha é o coset à direita de H por a, definido por Ha=\{ha : h\in H\}.
  • A igualdade entre conjuntos será provada mostrando as duas inclusões \subseteq e \supseteq.

Passo 2

Mostrar a inclusão
\left(\bigcap_{i\in I} H_{i}\right)a \subseteq \bigcap_{i\in I} (H_{i}a).
Seja x\in \left(\bigcap_{i\in I} H_{i}\right)a. Pela definição de coset, existe um elemento h\in \bigcap_{i\in I} H_{i} tal que x = h a.
Explicação da definição usada: h\in \bigcap_{i\in I} H_{i} significa que h\in H_{i} para todo i\in I. Como x = h a e h\in H_{i}, segue que x\in H_{i}a para cada i. Logo x pertence à interseção de todos os H_{i}a:
x \in \bigcap_{i\in I} (H_{i}a).
Portanto obtém-se a inclusão desejada:
\left(\bigcap_{i\in I} H_{i}\right)a \subseteq \bigcap_{i\in I} (H_{i}a).

Passo 3

Mostrar a inclusão inversa
\bigcap_{i\in I} (H_{i}a) \subseteq \left(\bigcap_{i\in I} H_{i}\right)a.
Seja x\in \bigcap_{i\in I} (H_{i}a). Isso significa que, para cada i\in I, tem-se x\in H_{i}a. Pela definição de coset, para cada i existe um elemento h_{i}\in H_{i} tal que
x = h_{i} a.
Agora multiplica-se ambos os lados da igualdade por a^{-1} à direita (lembre que a^{-1} existe porque G é grupo):
h_{i} = x a^{-1},\quad\text{para todo }i\in I.
Como cada h_{i} pertence a H_{i} e todos eles são iguais ao mesmo elemento x a^{-1}, segue que x a^{-1}\in H_{i} para todo i. Portanto x a^{-1}\in \bigcap_{i\in I} H_{i}.
Usando essa informação, escrevemos x como um elemento do coset da interseção:
x = (x a^{-1})a \quad\text{com}\quad x a^{-1}\in \bigcap_{i\in I} H_{i},
o que mostra que x\in \left(\bigcap_{i\in I} H_{i}\right)a.
Logo a inclusão inversa é verdadeira:
\bigcap_{i\in I} (H_{i}a) \subseteq \left(\bigcap_{i\in I} H_{i}\right)a.

Passo 4

Concluir a igualdade dos conjuntos.
Pela Passo 2 e Passo 3 temos as duas inclusões mútuas:
\left(\bigcap_{i\in I} H_{i}\right)a \subseteq \bigcap_{i\in I} (H_{i}a) \quad\text{e}\quad \bigcap_{i\in I} (H_{i}a) \subseteq \left(\bigcap_{i\in I} H_{i}\right)a.
Portanto as duas partes são iguais, isto é,
\left(\bigcap_{i\in I} H_{i}\right)a = \bigcap_{i\in I} (H_{i}a).
Comentário didático extra (curtiu?): a ideia central é que multiplicar por a à direita é uma bijeção G\to G dada por g\mapsto ga; essa bijeção leva a interseção das H_i na interseção dos H_i a. No exame, o método elementar de "pegar x e escrever x=ha ou multiplicar por a^{-1}" é seguro e direto — é o que usei acima.

Resposta

\left(\bigcap_{i\in I} H_{i}\right)a=\bigcap_{i\in I} (H_{i}a)

Exercícios relacionados