- Sejam
um grupo e
uma família indexada de subgrupos de
. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá:
- Um grupo
. - Uma família indexada de subgrupos
de . - Um elemento fixo arbitrário
.
O que se pede:
- Mostrar que, para todo
,
Informações relevantes que temos (retiradas do enunciado e da definição de subgrupo):
- Cada
é subgrupo de , isto é, contém a identidade , é fechado sob produto e contém inversos. - Para um subconjunto
e , o conjunto é o coset à direita de por , definido por . - A igualdade entre conjuntos será provada mostrando as duas inclusões
e .
Passo 2
Mostrar a inclusão
Seja
. Pela definição de coset, existe um elemento
tal que
.
Explicação da definição usada:
significa que
para todo
. Como
e
, segue que
para cada
. Logo
pertence à interseção de todos os
:
Portanto obtém-se a inclusão desejada:
Passo 3
Mostrar a inclusão inversa
Seja
. Isso significa que, para cada
, tem-se
. Pela definição de coset, para cada
existe um elemento
tal que
Agora multiplica-se ambos os lados da igualdade por
à direita (lembre que
existe porque
é grupo):
Como cada
pertence a
e todos eles são iguais ao mesmo elemento
, segue que
para todo
. Portanto
.
Usando essa informação, escrevemos
como um elemento do coset da interseção:
o que mostra que
.
Logo a inclusão inversa é verdadeira:
Passo 4
Concluir a igualdade dos conjuntos.
Pela Passo 2 e Passo 3 temos as duas inclusões mútuas:
Portanto as duas partes são iguais, isto é,
Comentário didático extra (curtiu?): a ideia central é que multiplicar por
à direita é uma bijeção
dada por
; essa bijeção leva a interseção das
na interseção dos
. No exame, o método elementar de "pegar
e escrever
ou multiplicar por
" é seguro e direto — é o que usei acima.