1. Sejam G um grupo e S um conjunto qualquer. Mostre que se \sigma: G \rightarrow S é uma função sobrejetora tal que \sigma(a b)=\sigma(a) \sigma(b), para quaisquer a, b \in G, então S é um grupo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
  • Tem-se um grupo G. Isso significa que em G existe uma operação (que denotamos multiplicação), e valem as propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.
  • Tem-se um conjunto S (um “conjunto qualquer”).
  • Existe uma função sobrejetora \sigma: G \to S. Sobrejetora significa que para todo s\in S existe pelo menos um a\in G tal que \sigma(a)=s.
  • A função \sigma satisfaz a relação
\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)
para quaisquer a,b\in G. Aqui \sigma(a)\sigma(b) denota o produto (a operação binária) em S — isto é, assume-se que os elementos de S podem ser multiplicados por justaposição e que a igualdade acima faz sentido.
O que o enunciado pede:
  • Mostrar que S é um grupo (ou seja, sob a operação em S já implícita, provar fechamento, associatividade, existência de neutro e de inversos).

Passo 2

Lembrete rápido dos conceitos que vou usar (explicados de forma simples):
  • Grupo: um conjunto com uma operação binária tal que (i) fechamento: produto de dois elementos está no conjunto; (ii) associatividade: (xy)z=x(yz); (iii) existência de elemento neutro e tal que ex=xe=x para todo x; (iv) existência de inversos: para cada x existe x^{-1} com xx^{-1}=x^{-1}x=e.
  • Função sobrejetora: \sigma é sobrejetora se para todo s\in S existe a\in G com \sigma(a)=s.
  • A igualdade \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b) diz que \sigma preserva a multiplicação (ou seja, é um homomorfismo) — sempre que eu usar essa igualdade, quero dizer que o produto à direita é o produto em S.
Agora começo a provar as propriedades de grupo em S, uma a uma.

Passo 3

Fechamento em S.
Sejam s,t\in S. Como \sigma é sobrejetora, existem a,b\in G tais que \sigma(a)=s e \sigma(b)=t. Pelo enunciado,
s t = \sigma(a)\sigma(b)=\sigma(ab).
Mas \sigma(ab) é um elemento de S (imagem de ab\in G). Logo s t\in S. Portanto a operação em S é fechada.
(Comentário: usamos sobrejetividade para garantir que todo elemento de S tem um pré‑imagem; assim o produto s t pode ser representado como imagem de um produto em G.)

Passo 4

Associatividade em S.
Tomem s,t,u\in S. Escolham a,b,c\in G tais que \sigma(a)=s, \sigma(b)=t, \sigma\text{(c)}=u (existe tal escolha por sobrejetividade). Então, usando a propriedade \sigma(xy)=\sigma(x)\sigma(y) e a associatividade em G, temos:
\begin{aligned} s\bigl(tu\bigr) &= \sigma(a)\bigl(\sigma(b)\sigma\text{(c)}\bigr) = \sigma(a)\sigma(bc) = \sigma\bigl(a(bc)\bigr)\\\ &= \sigma\bigl((ab)c\bigr) = \sigma(ab)\sigma\text{(c)} = \bigl(\sigma(a)\sigma(b)\bigr)\sigma\text{(c)}\\\ &= (st)u. \end{aligned}
Cada passo usa apenas: a propriedade de \sigma (para juntar produtos) e a associatividade de G (para trocar a(bc) por (ab)c). Assim (st)u = s(tu) para todo s,t,u\in S. Logo a operação em S é associativa.

Passo 5

Existência do elemento neutro em S.
Seja e_G o elemento neutro de G (ou seja, e_G a = a e_G = a para todo a\in G). Defina
e_S := \sigma(e_G)\in S.
Mostro que e_S é neutro em S. Para qualquer s\in S, escolha a\in G com \sigma(a)=s. Então
e_S s = \sigma(e_G)\sigma(a)=\sigma(e_G a)=\sigma(a)=s,
e de modo análogo
s e_S = \sigma(a)\sigma(e_G)=\sigma(a e_G)=\sigma(a)=s.
Portanto e_S é o elemento neutro de S.

Passo 6

Existência de inversos em S.
Pegue s\in S. Escolha a\in G tal que \sigma(a)=s. Como G é grupo, existe a^{-1}\in G com a a^{-1} = a^{-1} a = e_G. Considere \sigma(a^{-1})\in S. Então
s\;\sigma(a^{-1}) = \sigma(a)\sigma(a^{-1})=\sigma(aa^{-1})=\sigma(e_G)=e_S,
e igualmente
\sigma(a^{-1})\;s = \sigma(a^{-1})\sigma(a)=\sigma(a^{-1}a)=\sigma(e_G)=e_S.
Logo \sigma(a^{-1}) é o inverso de s em S. Como s foi arbitrário, todo elemento de S tem inverso.

Passo 7

Conclusão.
Mostrei que a operação em S é fechada, associativa, possui elemento neutro e_S=\sigma(e_G) e que cada elemento tem inverso (o inverso de \sigma(a) é \sigma(a^{-1})). Portanto S satisfaz todas as propriedades de um grupo. Além disso, o que foi utilizado é justamente que \sigma é sobrejetora e preserva produtos.

Resposta

S é um grupo.

Exercícios relacionados