- Sejam
um grupo e
um conjunto qualquer. Mostre que se
é uma função sobrejetora tal que
, para quaisquer
, então
é um grupo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
- Tem-se um grupo
. Isso significa que em existe uma operação (que denotamos multiplicação), e valem as propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos. - Tem-se um conjunto
(um “conjunto qualquer”). - Existe uma função sobrejetora
. Sobrejetora significa que para todo existe pelo menos um tal que . - A função
satisfaz a relação
para quaisquer
. Aqui
denota o produto (a operação binária) em
— isto é, assume-se que os elementos de
podem ser multiplicados por justaposição e que a igualdade acima faz sentido.
O que o enunciado pede:
- Mostrar que
é um grupo (ou seja, sob a operação em já implícita, provar fechamento, associatividade, existência de neutro e de inversos).
Passo 2
Lembrete rápido dos conceitos que vou usar (explicados de forma simples):
- Grupo: um conjunto com uma operação binária tal que (i) fechamento: produto de dois elementos está no conjunto; (ii) associatividade:
; (iii) existência de elemento neutro tal que para todo ; (iv) existência de inversos: para cada existe com . - Função sobrejetora:
é sobrejetora se para todo existe com . - A igualdade
diz que preserva a multiplicação (ou seja, é um homomorfismo) — sempre que eu usar essa igualdade, quero dizer que o produto à direita é o produto em .
Agora começo a provar as propriedades de grupo em
, uma a uma.
Passo 3
Fechamento em
.
Sejam
. Como
é sobrejetora, existem
tais que
e
. Pelo enunciado,
Mas
é um elemento de
(imagem de
). Logo
. Portanto a operação em
é fechada.
(Comentário: usamos sobrejetividade para garantir que todo elemento de
tem um pré‑imagem; assim o produto
pode ser representado como imagem de um produto em
.)
Passo 4
Associatividade em
.
Tomem
. Escolham
tais que
,
,
(existe tal escolha por sobrejetividade). Então, usando a propriedade
e a associatividade em
, temos:
Cada passo usa apenas: a propriedade de
(para juntar produtos) e a associatividade de
(para trocar
por
). Assim
para todo
. Logo a operação em
é associativa.
Passo 5
Existência do elemento neutro em
.
Seja
o elemento neutro de
(ou seja,
para todo
). Defina
Mostro que
é neutro em
. Para qualquer
, escolha
com
. Então
e de modo análogo
Portanto
é o elemento neutro de
.
Passo 6
Existência de inversos em
.
Pegue
. Escolha
tal que
. Como
é grupo, existe
com
. Considere
. Então
e igualmente
Logo
é o inverso de
em
. Como
foi arbitrário, todo elemento de
tem inverso.
Passo 7
Conclusão.
Mostrei que a operação em
é fechada, associativa, possui elemento neutro
e que cada elemento tem inverso (o inverso de
é
). Portanto
satisfaz todas as propriedades de um grupo. Além disso, o que foi utilizado é justamente que
é sobrejetora e preserva produtos.
Resposta
S é um grupo.