Sejam g(t)=\cos (3 t) e h(t)=\cos (3 t+\theta), determine o valor de pico e x(t)= g(t)+h(t) quando:
\theta=0

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
g(t)=\cos(3t),\qquad h(t)=\cos(3t+\theta),
e define
x(t)=g(t)+h(t).
A pergunta é: quando \theta=0, determine (a) a expressão de x(t) e (b) o valor de pico (ou seja, o valor máximo absoluto que x(t) atinge).

Passo 2

Primeiro substituo \theta=0 em h(t). Como \theta=0,
h(t)=\cos(3t+0)=\cos(3t).
Logo as duas funções são idênticas: g(t)=\cos(3t) e h(t)=\cos(3t).

Passo 3

Agora somo g(t) e h(t). Diretamente:
x(t)=g(t)+h(t)=\cos(3t)+\cos(3t)=2\cos(3t).
Esta é a expressão simplificada de x(t) quando \theta=0.

Passo 4

Vou explicar por que a forma 2\cos(3t) tem amplitude (valor de pico) igual a 2, de um jeito bem passo a passo.
  • Lembrete sobre \cos: para qualquer argumento real u vale -1\le \cos(u)\le 1. Isso significa que \cos(3t) varia entre -1 e 1.
  • Multiplicando por 2: se y(t)=2\cos(3t), então -2\le y(t)\le 2. O maior valor que y(t) atinge é 2 (quando \cos(3t)=1) e o menor é -2 (quando \cos(3t)=-1).
  • Portanto o valor de pico (ou amplitude máxima) de x(t) é 2.

Passo 5

Como reforço didático, mostro também a identidade trigonométrica geral que costuma ser usada para somar cossenos (útil quando \theta\neq0) e que neste caso leva ao mesmo resultado: para quaisquer A,B,
\cos A+\cos B=2\cos\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\!\left(\frac{A-B}{2}\right).
Prova rápida dessa identidade: defina p=\tfrac{A+B}{2} e q=\tfrac{A-B}{2}. Então A=p+q e B=p-q. Usando as fórmulas de soma do cosseno,
\cos(p+q)+\cos(p-q)=(\cos p\cos q-\sin p\sin q)+(\cos p\cos q+\sin p\sin q)=2\cos p\cos q.
Voltando às variáveis originais, obtém-se a identidade acima. Aplicando-a com A=3t e B=3t
\cos(3t)+\cos(3t)=2\cos\!\left(\frac{3t+3t}{2}\right)\cos\!\left(\frac{3t-3t}{2}\right) =2\cos(3t)\cos(0)=2\cos(3t),
pois \cos(0)=1. Confirma o resultado do Passo 3.

Passo 6

Um detalhe prático: os instantes em que x(t) atinge o pico máximo 2 ocorrem quando \cos(3t)=1. Isso acontece para
3t=2\pi k\quad\Rightarrow\quad t=\frac{2\pi k}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.
O período da função x(t)=2\cos(3t) é T=\dfrac{2\pi}{3}.

Resposta

x(t)=2\cos(3t)
Valor de pico = 2

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