Sejam a \geq b>0 e considere a curva de equações paramétricas
x=a \operatorname{sen} t \quad y=b \cos t, \quad t \in[0,2 \pi] .
(a) Elimine o parâmetro t e identifique a curva.
(b) Verifique que o comprimento da curva é dado por
L=4 a \int_{0}^{\pi / 2} \sqrt{1-E^{2} \operatorname{sen}^{2} t} d t
em que E=c / a e c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei tudo do enunciado):
  • Parâmetros: a\ge b>0 e t\in[0,2\pi].
  • Equações paramétricas da curva:
x = a\operatorname{sen} t,\qquad y = b\cos t.
O que pede:
(a) eliminar o parâmetro t e identificar geometricamente a curva;
(b) verificar que o comprimento da curva é
L=4a\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-E^{2}\operatorname{sen}^{2}t}\,dt,
onde c=\sqrt{a^{2}-b^{2}} e E=c/a.

Passo 2

Vamos eliminar o parâmetro t. A ideia padrão é escrever sen² e cos² e usar a identidade trigonométrica básica. Começo calculando as razões quadradas:
\frac{x^{2}}{a^{2}}=\operatorname{sen}^{2}t,\qquad \frac{y^{2}}{b^{2}}=\cos^{2}t.
Somando as duas expressões obtemos, usando \operatorname{sen}^{2}t+\cos^{2}t=1,
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\operatorname{sen}^{2}t+\cos^{2}t=1.
Portanto a equação cartesiana da curva é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.

Passo 3

Identificação da curva: a equação
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
é a forma padrão da elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal de comprimento a e semi-eixo vertical de comprimento b. Como a\ge b>0, o semi-eixo maior tem comprimento a (a elipse é mais “esticada” ao longo do eixo x). Obs.: a parametrização dada (com x=a\operatorname{sen}t e y=b\cos t) é apenas uma escolha de fase; não altera a forma da curva, só o ponto inicial e o sentido de varredura.

Passo 4

Agora vamos calcular o comprimento da curva. Fórmula geral: para uma curva paramétrica (x(t),y(t)) com derivadas contínuas, o comprimento entre t_{1} e t_{2} é dado por
L=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\,dt.
Breve intuição (rápida): para um pequeno incremento \Delta t a variação é aproximadamente \Delta s\approx\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} e \Delta x\approx x'(t)\Delta t, \Delta y\approx y'(t)\Delta t; somando e passando ao limite chega-se à integral acima.

Passo 5

Calcule as derivadas das componentes dadas:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(a\operatorname{sen}t\bigr)=a\cos t, \qquad y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(b\cos t\bigr)=-b\operatorname{sen}t.
Agora o integrando é
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}} =\sqrt{a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\operatorname{sen}^{2}t}.

Passo 6

Vamos manipular a expressão dentro da raiz para pô-la na forma pedida. Factorizando a^{2} temos:
a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\operatorname{sen}^{2}t = a^{2}\Bigl(\cos^{2}t+\frac{b^{2}}{a^{2}}\operatorname{sen}^{2}t\Bigr).
Usando \cos^{2}t=1-\operatorname{sen}^{2}t obtemos
\cos^{2}t+\frac{b^{2}}{a^{2}}\operatorname{sen}^{2}t =1-\operatorname{sen}^{2}t+\frac{b^{2}}{a^{2}}\operatorname{sen}^{2}t =1-\Bigl(1-\frac{b^{2}}{a^{2}}\Bigr)\operatorname{sen}^{2}t.
Observe que
1-\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=\frac{c^{2}}{a^{2}}
onde definimos c=\sqrt{a^{2}-b^{2}} (positivo porque a\ge b). Então
a^{2}\cos^{2}t+b^{2}\operatorname{sen}^{2}t = a^{2}\Bigl(1-\frac{c^{2}}{a^{2}}\operatorname{sen}^{2}t\Bigr) = a^{2}\bigl(1-E^{2}\operatorname{sen}^{2}t\bigr),
onde colocamos \displaystyle E=\frac{c}{a}. Assim o integrando fica
\sqrt{a^{2}\bigl(1-E^{2}\operatorname{sen}^{2}t\bigr)}=a\sqrt{1-E^{2}\operatorname{sen}^{2}t}.

Passo 7

Portanto o comprimento total, integrando em t de 0 a 2\pi, é
L=\int_{0}^{2\pi}a\sqrt{1-E^{2}\operatorname{sen}^{2}t}\,dt.
Agora usamos simetria para reduzir o intervalo. A função \operatorname{sen}^{2}t assume os mesmos valores em cada quadrante e tem período \pi; em consequência o integrando \sqrt{1-E^{2}\operatorname{sen}^{2}t} repete-se quatro vezes no intervalo [0,2\pi]. Uma maneira simples de ver isso é notar que para t\in[0,\pi/2] os valores de \operatorname{sen}^{2}t variam de 0 a 1 e as porções [0,\pi/2], [\pi/2,\pi], [\pi,3\pi/2], [3\pi/2,2\pi] produzem a mesma contribuição ao integral por redundância de \operatorname{sen}^{2}. Assim
\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1-E^{2}\operatorname{sen}^{2}t}\,dt =4\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-E^{2}\operatorname{sen}^{2}t}\,dt.
Multiplicando pelo fator a já exterior, obtemos finalmente
L=4a\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-E^{2}\operatorname{sen}^{2}t}\,dt,
com E=c/a e c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}, exatamente como o enunciado pedia.

Resposta

(a) \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 (elipse com semi-eixos a em x e b em y).\n
(b) L=4a\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-E^{2}\operatorname{sen}^{2}t}\,dt, com c=\sqrt{a^{2}-b^{2}} e E=c/a.

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