Sejam
e considere a curva de equações paramétricas
(a) Elimine o parâmetro
e identifique a curva.
(b) Verifique que o comprimento da curva é dado por
em que
e
.
(b) Verifique que o comprimento da curva é dado por
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tirei tudo do enunciado):
- Parâmetros:
e . - Equações paramétricas da curva:
O que pede:
(a) eliminar o parâmetro e identificar geometricamente a curva;
(b) verificar que o comprimento da curva é
(a) eliminar o parâmetro
(b) verificar que o comprimento da curva é
onde
e
.
Passo 2
Vamos eliminar o parâmetro
. A ideia padrão é escrever sen² e cos² e usar a identidade trigonométrica básica. Começo calculando as razões quadradas:
Somando as duas expressões obtemos, usando
,
Portanto a equação cartesiana da curva é
Passo 3
Identificação da curva: a equação
é a forma padrão da elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal de comprimento
e semi-eixo vertical de comprimento
. Como
, o semi-eixo maior tem comprimento
(a elipse é mais “esticada” ao longo do eixo
). Obs.: a parametrização dada (com
e
) é apenas uma escolha de fase; não altera a forma da curva, só o ponto inicial e o sentido de varredura.
Passo 4
Agora vamos calcular o comprimento da curva. Fórmula geral: para uma curva paramétrica
com derivadas contínuas, o comprimento entre
e
é dado por
Breve intuição (rápida): para um pequeno incremento
a variação é aproximadamente
e
,
; somando e passando ao limite chega-se à integral acima.
Passo 5
Calcule as derivadas das componentes dadas:
Agora o integrando é
Passo 6
Vamos manipular a expressão dentro da raiz para pô-la na forma pedida. Factorizando
temos:
Usando
obtemos
Observe que
onde definimos
(positivo porque
). Então
onde colocamos
. Assim o integrando fica
Passo 7
Portanto o comprimento total, integrando em
de
a
, é
Agora usamos simetria para reduzir o intervalo. A função
assume os mesmos valores em cada quadrante e tem período
; em consequência o integrando
repete-se quatro vezes no intervalo
. Uma maneira simples de ver isso é notar que para
os valores de
variam de
a
e as porções
,
,
,
produzem a mesma contribuição ao integral por redundância de
. Assim
Multiplicando pelo fator
já exterior, obtemos finalmente
com
e
, exatamente como o enunciado pedia.
Resposta
(a)
(elipse com semi-eixos
em
e
em
).\n
(b) , com
e
.
(b)