Considere a curva com equações paramétricas x=t^{3}+1, y=t^{2}-t.
Determine, se existirem:
(a) os pontos do plano x y onde a curva tem reta tangente horizontal ou vertical;
(b) os quadrantes em que curva tem concavidade voltada para cima.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=t^{3}+1,\qquad y=t^{2}-t,
e pede duas coisas:
(a) os pontos do plano xy onde a curva tem reta tangente horizontal ou reta tangente vertical;
(b) em quais quadrantes a curva tem concavidade voltada para cima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva está descrita por um parâmetro t que varia em todo \mathbb{R} (nenhuma restrição foi dada).
  • Para achar tangentes e concavidade precisamos das derivadas em relação a t: \dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt} e, para concavidade, a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.
  • Pedidos concretos:
    • (a) localizar pontos (x,y) correspondentes a valores de t em que a tangente é horizontal ou vertical.
    • (b) determinar em quais quadrantes do plano a curva está com concavidade para cima (isto é, onde \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}>0).

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}, que são as derivadas das componentes em relação ao parâmetro t.
Derivando termo a termo:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}+1\bigr)=3t^{2}, \qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}-t\bigr)=2t-1.
Explicação didática curta: \dfrac{dx}{dt} é a velocidade da coordenada x em função de t; \dfrac{dy}{dt} é a velocidade da coordenada y. A derivada da parábola t^{2} é 2t; a derivada de -t é -1; a derivada de t^{3} é 3t^{2}.
A derivada ordinária da curva (inclinação da reta tangente no plano) é dada pela regra para curvas paramétricas:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{2t-1}{3t^{2}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq0. Observe que \dfrac{dx}{dt}=3t^{2}=0 ocorre em t=0, ponto que merece atenção (possibilidade de tangente vertical).

Passo 3

Condição para tangente horizontal: a reta tangente é horizontal quando \dfrac{dy}{dx}=0 (inclinação zero) e \dfrac{dx}{dt}\neq0.
Resolver \dfrac{dy}{dx}=0:
\frac{2t-1}{3t^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad 2t-1=0 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{1}{2}.
Verificar \dfrac{dx}{dt} em t=\tfrac{1}{2}:
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=1/2}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=3\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\neq0,
portanto é realmente uma tangente horizontal.
Calcular o ponto (x,y) correspondente a t=\tfrac{1}{2}:
x=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+1=\frac{1}{8}+1=\frac{9}{8}, \qquad y=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}.
Conclusão desta etapa: existe uma tangente horizontal no ponto \left(\dfrac{9}{8},-\dfrac{1}{4}\right).

Passo 4

Condição para tangente vertical: a reta tangente é vertical quando \dfrac{dx}{dt}=0 e simultaneamente \dfrac{dy}{dt}\neq0 (ou seja, \dfrac{dy}{dx} tende a \pm\infty).
Resolver \dfrac{dx}{dt}=0:
3t^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad t=0.
Verificar \dfrac{dy}{dt} em t=0:
\frac{dy}{dt}\Big|_{t=0}=2\cdot 0-1=-1\neq0,
logo temos de fato tangente vertical em t=0.
Calcular o ponto (x,y) correspondente a t=0:
x=0^{3}+1=1,\qquad y=0^{2}-0=0.
Conclusão desta etapa: existe uma tangente vertical no ponto (1,0).

Passo 5

Agora tratar concavidade. Conceito e fórmula: para curvas paramétricas a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} (que indica concavidade) é dada por
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq0. Isso vem da regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}=\dfrac{1}{dx/dt}\dfrac{d}{dt}.
Temos \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2t-1}{3t^{2}}. Vamos calcular \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right) usando a regra do quociente (ou simplificar antes).
Calcular passo a passo a derivada em relação a t:
Aplicando o quociente
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{2t-1}{3t^{2}}\right) =\frac{(2)\cdot(3t^{2})-(2t-1)\cdot(6t)}{(3t^{2})^{2}}.
Desenvolvendo o numerador:
(2)\cdot(3t^{2})=6t^{2},\qquad (2t-1)\cdot(6t)=12t^{2}-6t,
logo o numerador é
6t^{2}-(12t^{2}-6t)=6t^{2}-12t^{2}+6t=-6t^{2}+6t=6t(1-t).
O denominador é (3t^{2})^{2}=9t^{4}. Portanto
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{6t(1-t)}{9t^{4}}=\frac{2(1-t)}{3t^{3}},
para t\neq0.

Passo 6

Agora dividimos por \dfrac{dx}{dt}=3t^{2} para obter a segunda derivada:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}} =\frac{\dfrac{2(1-t)}{3t^{3}}}{3t^{2}}=\frac{2(1-t)}{9t^{5}},
definida para t\neq0 (em t=0 a curva tem tangente vertical e a segunda derivada padrão não se aplica).
Para analisar concavidade voltada para cima, precisamos de
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{2(1-t)}{9t^{5}}>0.
Os factores 2 e 9 são positivos, então o sinal depende de (1-t) e de t^{5}. Como t^{5} tem o mesmo sinal que t, a desigualdade é equivalente a
\frac{1-t}{t}>0.
Resolver \dfrac{1-t}{t}>0. Analisar sinais:
  • Se t>0: então \dfrac{1-t}{t}>0 equivale a 1-t>0, isto é t<1. Assim para 0<t<1 a desigualdade é verdadeira.
  • Se t<0: o denominador é negativo; para a fração ser positiva seria necessário 1-t<0 i.e. t>1, o que não pode ocorrer simultaneamente a t<0. Logo não há solução com t<0.
Portanto a condição para concavidade para cima é
0<t<1.

Passo 7

Finalmente, traduzir o intervalo de parâmetro 0<t<1 em quadrantes do plano xy.
Para t\in(0,1):
x=t^{3}+1>1\quad(\text{pois }t^{3}>0),
logo x>0.
E
y=t^{2}-t=t(t-1).
Como t>0 e t-1<0 (porque t<1), segue y<0.
Conclusão: para 0<t<1 temos x>0 e y<0, ou seja, os pontos correspondentes estão no quadrante IV (quarto quadrante). Não há outro intervalo de t que satisfaça a condição de concavidade para cima, então a concavidade voltada para cima ocorre apenas no quadrante IV.
Observação empolgante: o ponto que encontramos para tangente horizontal, \left(\tfrac{9}{8},-\tfrac{1}{4}\right), corresponde a t=\tfrac{1}{2}\in(0,1), portanto é um ponto dentro da região de concavidade para cima — faz sentido visualmente e alinha com os sinais encontrados.

Resposta

(a) Tangente horizontal em \left(\dfrac{9}{8},-\dfrac{1}{4}\right).
(a) Tangente vertical em (1,0).
(b) A curva tem concavidade voltada para cima apenas no quadrante IV (ou seja, para 0<t<1).

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