Considere a curva com equações paramétricas x=t^{3}+1, y=t^{2}-t.
Determine, se existirem:
(a) os pontos do plano x y onde a curva tem reta tangente horizontal ou vertical;
(b) os quadrantes em que curva tem concavidade voltada para cima.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
x=t^{3}+1,\qquad y=t^{2}-t,
e pede duas coisas:
(a) os pontos do plano xy onde a curva tem reta tangente horizontal ou reta tangente vertical;
(b) em quais quadrantes a curva tem concavidade voltada para cima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A curva está descrita por um parâmetro t que varia em todo \mathbb{R} (nenhuma restrição foi dada).
Para achar tangentes e concavidade precisamos das derivadas em relação a t: \dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt} e, para concavidade, a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.
Pedidos concretos:
(a) localizar pontos (x,y) correspondentes a valores de t em que a tangente é horizontal ou vertical.
(b) determinar em quais quadrantes do plano a curva está com concavidade para cima (isto é, onde \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}>0).
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}, que são as derivadas das componentes em relação ao parâmetro t.
Explicação didática curta: \dfrac{dx}{dt} é a velocidade da coordenada x em função de t; \dfrac{dy}{dt} é a velocidade da coordenada y. A derivada da parábola t^{2} é 2t; a derivada de -t é -1; a derivada de t^{3} é 3t^{2}.
A derivada ordinária da curva (inclinação da reta tangente no plano) é dada pela regra para curvas paramétricas:
Conclusão desta etapa: existe uma tangente horizontal no ponto \left(\dfrac{9}{8},-\dfrac{1}{4}\right).
Passo 4
Condição para tangente vertical: a reta tangente é vertical quando \dfrac{dx}{dt}=0 e simultaneamente \dfrac{dy}{dt}\neq0 (ou seja, \dfrac{dy}{dx} tende a \pm\infty).
Resolver \dfrac{dx}{dt}=0:
3t^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad t=0.
Verificar \dfrac{dy}{dt} em t=0:
\frac{dy}{dt}\Big|_{t=0}=2\cdot 0-1=-1\neq0,
logo temos de fato tangente vertical em t=0.
Calcular o ponto (x,y) correspondente a t=0:
x=0^{3}+1=1,\qquad y=0^{2}-0=0.
Conclusão desta etapa: existe uma tangente vertical no ponto (1,0).
Passo 5
Agora tratar concavidade. Conceito e fórmula: para curvas paramétricas a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} (que indica concavidade) é dada por
Os factores 2 e 9 são positivos, então o sinal depende de (1-t) e de t^{5}. Como t^{5} tem o mesmo sinal que t, a desigualdade é equivalente a
\frac{1-t}{t}>0.
Resolver \dfrac{1-t}{t}>0. Analisar sinais:
Se t>0: então \dfrac{1-t}{t}>0 equivale a 1-t>0, isto é t<1. Assim para 0<t<1 a desigualdade é verdadeira.
Se t<0: o denominador é negativo; para a fração ser positiva seria necessário 1-t<0 i.e. t>1, o que não pode ocorrer simultaneamente a t<0. Logo não há solução com t<0.
Portanto a condição para concavidade para cima é
0<t<1.
Passo 7
Finalmente, traduzir o intervalo de parâmetro 0<t<1 em quadrantes do plano xy.
Para t\in(0,1):
x=t^{3}+1>1\quad(\text{pois }t^{3}>0),
logo x>0.
E
y=t^{2}-t=t(t-1).
Como t>0 e t-1<0 (porque t<1), segue y<0.
Conclusão: para 0<t<1 temos x>0 e y<0, ou seja, os pontos correspondentes estão no quadrante IV (quarto quadrante). Não há outro intervalo de t que satisfaça a condição de concavidade para cima, então a concavidade voltada para cima ocorre apenas no quadrante IV.
Observação empolgante: o ponto que encontramos para tangente horizontal, \left(\tfrac{9}{8},-\tfrac{1}{4}\right), corresponde a t=\tfrac{1}{2}\in(0,1), portanto é um ponto dentro da região de concavidade para cima — faz sentido visualmente e alinha com os sinais encontrados.
Resposta
(a) Tangente horizontal em \left(\dfrac{9}{8},-\dfrac{1}{4}\right).
(a) Tangente vertical em (1,0).
(b) A curva tem concavidade voltada para cima apenas no quadrante IV (ou seja, para 0<t<1).