Considere a equação polar r=\frac{10}{5-5 \sin \theta}.
(a) Identifique a cônica e a equação da reta diretriz.
(b) Identifique \mathrm{o}(\mathrm{s}) foco(s) e \mathrm{o}(\mathrm{s}) vértice(s) e a(s) interseção(ões) com o eixo x.

Passo 1

O enunciado dá a equação polar
r=\frac{10}{5-5\sin\theta},
e pede:
(a) identificar a cônica e a equação da reta diretriz;
(b) identificar o(s) foco(s), o(s) vértice(s) e as interseções com o eixo x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação polar pode ser simplificada (dividindo numerador e denominador por 5) para uma forma mais simples.
  • A curva está dada em coordenadas polares com o foco presumivelmente no polo (origem), pois a forma é r=\dfrac{\text{constante}}{1+\text{(algo com }\sin\theta\text{)}}-like.
A resolução começa agora.

Passo 2

Primeiro simplificar a equação dada. Dividindo numerador e denominador por 5:
r=\frac{10}{5-5\sin\theta}=\frac{2}{1-\sin\theta}.
Agora uma pequena aula sobre a forma polar de cônicas (muito útil na prova):
  • Para uma cônica com foco no polo (origem) e com diretriz horizontal, a forma geral é
r=\frac{ed}{1\pm e\sin\theta},
onde:
  • e é a excentricidade da cônica ( e<1 elipse, e=1 parábola, e>1 hipérbole);
  • d é a distância da diretriz ao polo (um número positivo);
  • o sinal \pm determina se a diretriz é y=+d ou y=-d:
    • Se a diretriz for y=+d (linha acima da origem), obtém-se r=\dfrac{ed}{1+e\sin\theta}.
    • Se a diretriz for y=-d (linha abaixo da origem), obtém-se r=\dfrac{ed}{1-e\sin\theta}.
Vou justificar rapidinho a segunda afirmação (por intuição e fórmula): a definição de cônica é \dfrac{\text{distância ao foco}}{\text{distância à diretriz}}=eââà. Se a diretriz é y=-d (com d>0), a distância de um ponto (r,\theta) à diretriz é |r\sin\theta + d|=r\sin\theta + d (tomando a situação geométrica que interessa), e daí surge a forma r=\dfrac{ed}{1-e\sin\theta}. (Na prova não precisa repetir todo o desenvolvimento, mas é bom entender de onde vem.)

Passo 3

Comparar a nossa forma simplificada
r=\frac{2}{1-\sin\theta}
com a forma geral r=\dfrac{ed}{1-e\sin\theta}.
Identificando coeficientes:
  • O fator multiplicador no numerador é ed=2.
  • O coeficiente multiplicando \sin\theta no denominador é e, e aqui é 1 (pois temos 1-\sin\theta), logo \;e=1.
Com \;e=1 e ed=2 obtemos d=2.
Interpretação:
  • Como \;e=1, a cônica é uma parábola.
  • Como a forma tem 1-\sin\theta (sinal “menos”), a diretriz é a reta horizontal
y=-d,
ou seja
y=-2.

Passo 4

Agora vamos achar a equação cartesiana (útil para localizar vértice, foco e interseções). Usar as relações polares-cartesianas:
r=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \sin\theta=\frac{y}{r}.
Substituindo em r=\dfrac{2}{1-\sin\theta}:
r=\frac{2}{1-\dfrac{y}{r}}\quad\Longrightarrow\quad r\Bigl(1-\frac{y}{r}\Bigr)=2.
Simplificar o parêntese:
r-y=2.
Agora substituir r=\sqrt{x^2+y^2}:
\sqrt{x^2+y^2}-y=2.
Isolar a raiz:
\sqrt{x^2+y^2}=y+2.
Observação de domínio: a expressão à direita deve ser não-negativa, então y+2\ge0 (isto é, y\ge-2). Isso é coerente com a geometria (a diretriz está em y=-2).
Elevar ao quadrado (feito com cuidado; como RHS \ge0, não introduzimos sinais ambíguos):
x^2+y^2=(y+2)^2=y^2+4y+4.
Cancelar y^2 em ambos os lados:
x^2=4y+4.
Isolando y:
y=\frac{x^2}{4}-1.
Esta é a forma cartesiana padrão da parábola. Reescrevendo como
x^2=4\bigl(y+1\bigr),
vemos claramente a forma canônica x^2=4p(y-y_0), com y_0=-1 e 4p=4\Rightarrow p=1.

Passo 5

Usar a interpretação padrão de parábolas (aula rápida e prática):
  • Para x^2=4p(y-y_0) a vértice é (0,y_0) e o foco é (0,y_0+p).
  • No nosso caso, y_0=-1 e p=1. Portanto:
    • Vértice: (0,-1).
    • Foco: (0,-1+1)=(0,0).
Isso confirma também que o foco é o polo (origem), que já assumíamos ao usar a forma polar com foco no polo.

Passo 6

Interseções com o eixo x (ou seja, com y=0). Substituir y=0 na equação cartesiana y=\dfrac{x^2}{4}-1:
0=\frac{x^2}{4}-1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad x^2=4.
Logo
x=\pm 2.
As interseções com o eixo x são os pontos (2,0) e (-2,0).
Também é fácil ver isso na forma polar: para \theta=0 temos \sin0=0 e r=2 dando (2,0); para \theta=\pi temos \sin\pi=0 e r=2 dando (-2,0).

Passo 7

Recapitulando de forma didática e rápida (para decorar para a prova):
  • Ao ver r=\dfrac{\text{const}}{1\pm \sin\theta} ou r=\dfrac{\text{const}}{1\pm \cos\theta}, compare com r=\dfrac{ed}{1\pm e\sin\theta} (ou com \cos\theta) para ler e e d direto.
  • Se e=1 é parábola; o sinal no denominador indica se a diretriz está acima ( +) ou abaixo ( -) do polo quando envolve \sin\theta.
  • Converter para cartesiano com r=\sqrt{x^2+y^2} e \sin\theta=y/r permite achar vértice e foco pelo 4p-formato.

Resposta

(a) Parábola; \;y=-2
(b) Foco: (0,0)
Vértice: (0,-1)
Interseções com o eixo x: (2,0) e (-2,0)

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