Considere a equação polar
.
(a) Identifique a cônica e a equação da reta diretriz.
(b) Identifique
foco(s) e
vértice(s) e a(s) interseção(ões) com o eixo
.
(a) Identifique a cônica e a equação da reta diretriz.
(b) Identifique
Passo 1
O enunciado dá a equação polar
e pede:
(a) identificar a cônica e a equação da reta diretriz;
(b) identificar o(s) foco(s), o(s) vértice(s) e as interseções com o eixo .
(a) identificar a cônica e a equação da reta diretriz;
(b) identificar o(s) foco(s), o(s) vértice(s) e as interseções com o eixo
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação polar pode ser simplificada (dividindo numerador e denominador por
) para uma forma mais simples. - A curva está dada em coordenadas polares com o foco presumivelmente no polo (origem), pois a forma é
-like.
A resolução começa agora.
Passo 2
Primeiro simplificar a equação dada. Dividindo numerador e denominador por
:
Agora uma pequena aula sobre a forma polar de cônicas (muito útil na prova):
- Para uma cônica com foco no polo (origem) e com diretriz horizontal, a forma geral é
onde:
-
é a excentricidade da cônica ( elipse, parábola, hipérbole); -
é a distância da diretriz ao polo (um número positivo); - o sinal
determina se a diretriz é ou : - Se a diretriz for
(linha acima da origem), obtém-se . - Se a diretriz for
(linha abaixo da origem), obtém-se .
- Se a diretriz for
Vou justificar rapidinho a segunda afirmação (por intuição e fórmula): a definição de cônica é
. Se a diretriz é
(com
), a distância de um ponto
à diretriz é
(tomando a situação geométrica que interessa), e daí surge a forma
. (Na prova não precisa repetir todo o desenvolvimento, mas é bom entender de onde vem.)
Passo 3
Comparar a nossa forma simplificada
com a forma geral
.
Identificando coeficientes:
- O fator multiplicador no numerador é
. - O coeficiente multiplicando
no denominador é , e aqui é (pois temos ), logo .
Com
e
obtemos
.
Interpretação:
- Como
, a cônica é uma parábola. - Como a forma tem
(sinal “menos”), a diretriz é a reta horizontal
ou seja
Passo 4
Agora vamos achar a equação cartesiana (útil para localizar vértice, foco e interseções). Usar as relações polares-cartesianas:
Substituindo em
:
Simplificar o parêntese:
Agora substituir
:
Isolar a raiz:
Observação de domínio: a expressão à direita deve ser não-negativa, então
(isto é,
). Isso é coerente com a geometria (a diretriz está em
).
Elevar ao quadrado (feito com cuidado; como RHS
, não introduzimos sinais ambíguos):
Cancelar
em ambos os lados:
Isolando
:
Esta é a forma cartesiana padrão da parábola. Reescrevendo como
vemos claramente a forma canônica
, com
e
.
Passo 5
Usar a interpretação padrão de parábolas (aula rápida e prática):
- Para
a vértice é e o foco é . - No nosso caso,
e . Portanto: - Vértice:
. - Foco:
.
- Vértice:
Isso confirma também que o foco é o polo (origem), que já assumíamos ao usar a forma polar com foco no polo.
Passo 6
Interseções com o eixo
(ou seja, com
). Substituir
na equação cartesiana
:
Logo
As interseções com o eixo
são os pontos
e
.
Também é fácil ver isso na forma polar: para
temos
e
dando
; para
temos
e
dando
.
Passo 7
Recapitulando de forma didática e rápida (para decorar para a prova):
- Ao ver
ou , compare com (ou com ) para ler e direto. - Se
é parábola; o sinal no denominador indica se a diretriz está acima ( ) ou abaixo ( ) do polo quando envolve . - Converter para cartesiano com
e permite achar vértice e foco pelo -formato.
Resposta
(a) Parábola;
(b) Foco:
Vértice:
Interseções com o eixo :
e
Vértice:
Interseções com o eixo