Seja
um grupo e
tal que
. Quais são os possíveis valores para
?
Passo 1
O enunciado dá que
é um grupo e que
satisfaz
, onde
é o elemento neutro de
. A pergunta é: quais são os possíveis valores do número
(a ordem do elemento
)?
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- Tem-se explicitamente que
. - Pede-se os possíveis valores de
, que é um número natural (ou possivelmente infinito) que descreve a menor potência positiva que dá .
Passo 2
Definição e primeira observação: a ordem de um elemento
, denotada por
, é o menor inteiro positivo
tal que
. Se não existir tal inteiro positivo, diz-se que
. Aqui, como
, não pode ocorrer
: existe uma potência positiva que dá
. Logo
é um número natural finito.
Passo 3
Lema chave (muito usada em provas): se
e
é a ordem de
, então
divide
. Vou provar isso passo a passo (a prova é curta e essencial para este tipo de questão).
Aplicando o algoritmo da divisão inteira com e
, existem inteiros
e
tais que
Aplicando o algoritmo da divisão inteira com
Eleve
à potência
:
Mas pelo enunciado
, então
. Pela definição de
como a menor potência positiva que dá
, o resto
só pode ser
(se fosse positivo e menor que
, contradizeria a minimalidade de
). Portanto
, e assim
divide
.
Passo 4
Conclusão lógica imediata: como
divide
, os possíveis valores de
são precisamente os divisores positivos de
. Liste-os:
.
Passo 5
Exemplos que mostram que cada um desses valores realmente ocorre (ou seja, são todos possíveis):
- Ordem
: tomar . Então e . - Ordem
: em qualquer grupo, se então . Exemplo concreto: em (grupo aditivo), o elemento tem ordem . - Ordem
: se então . Exemplo concreto: em , o elemento tem ordem . - Ordem
: existe grupo com elemento de ordem , por exemplo o grupo cíclico de ordem , denotado por com ; então tem ordem e satisfaz .
Esses exemplos mostram que todos os divisores de
acontecem de fato como ordens possíveis de um elemento
com
.
Passo 6
Resumo final da ideia (para guardar para a prova): sempre que souber que
, a ordem de
é um divisor de
; portanto basta escrever os divisores de
.