Seja G um grupo e a \in G tal que a^{6}=e. Quais são os possíveis valores para |a| ?

Passo 1

O enunciado dá que G é um grupo e que a\in G satisfaz a^{6}=e, onde e é o elemento neutro de G. A pergunta é: quais são os possíveis valores do número |a| (a ordem do elemento a)?
Informações relevantes do enunciado:
  • Tem-se explicitamente que a^{6}=e.
  • Pede-se os possíveis valores de |a|, que é um número natural (ou possivelmente infinito) que descreve a menor potência positiva que dá e.

Passo 2

Definição e primeira observação: a ordem de um elemento a, denotada por |a|, é o menor inteiro positivo n tal que a^{n}=e. Se não existir tal inteiro positivo, diz-se que |a|=\infty. Aqui, como a^{6}=e, não pode ocorrer |a|=\infty: existe uma potência positiva que dá e. Logo |a| é um número natural finito.

Passo 3

Lema chave (muito usada em provas): se a^{m}=e e n=|a| é a ordem de a, então n divide m. Vou provar isso passo a passo (a prova é curta e essencial para este tipo de questão).
Aplicando o algoritmo da divisão inteira com m=6 e n=|a|, existem inteiros q e r tais que
6 = qn + r,\qquad 0\le r < n.
Eleve a à potência 6:
a^{6} = a^{q n + r} = (a^{n})^{q} a^{r} = e^{q} a^{r} = a^{r}.
Mas pelo enunciado a^{6}=e, então a^{r}=e. Pela definição de n como a menor potência positiva que dá e, o resto r só pode ser 0 (se fosse positivo e menor que n, contradizeria a minimalidade de n). Portanto r=0, e assim n divide 6.

Passo 4

Conclusão lógica imediata: como |a| divide 6, os possíveis valores de |a| são precisamente os divisores positivos de 6. Liste-os: 1,2,3,6.

Passo 5

Exemplos que mostram que cada um desses valores realmente ocorre (ou seja, são todos possíveis):
  • Ordem 1: tomar a=e. Então a^{6}=e e |a|=1.
  • Ordem 2: em qualquer grupo, se a^{2}=e então a^{6}=(a^{2})^{3}=e. Exemplo concreto: em \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} (grupo aditivo), o elemento [3] tem ordem 2.
  • Ordem 3: se a^{3}=e então a^{6}=(a^{3})^{2}=e. Exemplo concreto: em \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, o elemento [2] tem ordem 3.
  • Ordem 6: existe grupo com elemento de ordem 6, por exemplo o grupo cíclico de ordem 6, denotado por C_{6}=\langle g\rangle com g^{6}=e; então g tem ordem 6 e satisfaz g^{6}=e.
Esses exemplos mostram que todos os divisores de 6 acontecem de fato como ordens possíveis de um elemento a com a^{6}=e.

Passo 6

Resumo final da ideia (para guardar para a prova): sempre que souber que a^{m}=e, a ordem de a é um divisor de m; portanto basta escrever os divisores de m.

Resposta

1,\\\ 2,\\\ 3,\\\ 6

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