Sejam I=[a, b] e f, g: I \rightarrow \mathbb{R} funções contínuas em I. Mostre que X=\{x \in I \mid f(x)=g(x)\} é fechado.
Dica. Suponha que x_{0} \in \bar{X} e x_{n} é uma sequência em X que converge para x_{0}. Mostre que x \in X.

Derivada

Passo 1

O enunciado diz que I=[a,b] e que f,g: I \to \mathbb{R} são contínuas em I. Definimos
X = \{x\in I \mid f(x)=g(x)\}
e queremos provar que X é um conjunto fechado em I. Vamos usar a caracterização sequencial de fechado: mostrar que todo ponto-limite de X pertence a X.

Passo 2

Suponha que x_{0} pertença ao fecho de X, ou seja, x_{0}\in \overline{X}. Então existe uma sequência (x_{n}) em X tal que
\lim_{n\to\infty} x_{n} = x_{0}.
Como cada x_{n} está em X, temos
f(x_{n}) = g(x_{n}) \quad\text{para todo }n.

Passo 3

Pela continuidade de f e g em I, podemos passar ao limite na igualdade acima:
\lim_{n\to\infty} f(x_{n}) = f(x_{0}), \quad \lim_{n\to\infty} g(x_{n}) = g(x_{0}).

Passo 4

Como f(x_{n}) - g(x_{n}) = 0 para todo n, temos
\lim_{n\to\infty}\bigl(f(x_{n}) - g(x_{n})\bigr) = 0.
Mas pelo passo anterior,
\lim_{n\to\infty}\bigl(f(x_{n}) - g(x_{n})\bigr) = f(x_{0}) - g(x_{0}).
Logo f(x_{0}) - g(x_{0}) = 0, isto é, f(x_{0}) = g(x_{0}).

Passo 5

Acabamos de ver que qualquer ponto-limite x_{0} de X também satisfaz f(x_{0})=g(x_{0}), ou seja, x_{0}\in X. Daí segue que X contém todos os seus pontos-limite, portanto X é fechado.

Resposta

O conjunto X=\{x\in I\mid f(x)=g(x)\} é fechado em I.

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