Sejam um intervalo e uma função.
Suponha aberto e par, tal que para , . Mostre que é ponto de mínimo local de se e somente se .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sendo aberto e com par, e supondo que em temos
então é ponto de mínimo local de se, e somente se, .
O conteúdo principal é o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange, que nos dá o comportamento de em volta de .
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Taylor de ordem em torno de . Para todo próximo de vale
onde o resto satisfaz
Isso significa que, para suficientemente próximo de , o termo domina o sinal de .
Passo 3
Suponha . Como é par, sempre que . Logo, para próximo de ,
pois o resto é de ordem estritamente inferior a . Assim em um entorno de , o que mostra que é ponto de mínimo local.
Passo 4
Agora suponha que seja ponto de mínimo local. Então existe um entorno onde . Para suficientemente próximo, dividindo
por e fazendo , obtemos
Como já sabemos que f^(n)(xi)neq0, segue f^(n)(xi)>0.
Resposta
xi é ponto de mínimo local de f se, e somente se, f^(n)(xi)>0.