Sejam I subset R um intervalo e f: I longrightarrow R uma função.
Suponha I aberto e f in C^n(I), n par, tal que f^(j)(xi)=0 para 1 <= j <= n-1, f^(n)(xi) neq 0, xi in I. Mostre que xi é ponto de mínimo local de f se e somente se f^(n)(xi)>0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sendo IsubsetR aberto e fin C^n(I) com n par, e supondo que em xi temos
f^(j)(xi)=0(1<= j<= n-1), f^(n)(xi)neq0,
então xi é ponto de mínimo local de f se, e somente se, f^(n)(xi)>0.
O conteúdo principal é o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange, que nos dá o comportamento de f em volta de xi.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Taylor de ordem n em torno de xi. Para todo x próximo de xi vale
f(x)=f(xi)+f^(n)(xi)n!(x-xi)^n+Rn(x),
onde o resto satisfaz
limxtoxiRn(x)(x-xi)^n=0
Isso significa que, para x suficientemente próximo de xi, o termo f^(n)(xi)n!(x-xi)^n domina o sinal de f(x)-f(xi).

Passo 3

Suponha f^(n)(xi)>0. Como n é par, (x-xi)^n>0 sempre que xneqxi. Logo, para x próximo de xi,
f(x)-f(xi) =f^(n)(xi)n!(x-xi)^n+Rn(x) >0,
pois o resto Rn(x) é de ordem estritamente inferior a (x-xi)^n. Assim f(x)>= f(xi) em um entorno de xi, o que mostra que xi é ponto de mínimo local.

Passo 4

Agora suponha que xi seja ponto de mínimo local. Então existe um entorno onde f(x)>= f(xi). Para xneqxi suficientemente próximo, dividindo
0<= f(x)-f(xi) =f^(n)(xi)n!(x-xi)^n+Rn(x)
por (x-xi)^n>0 e fazendo xtoxi, obtemos
0<= f^(n)(xi)n!+underbraceRn(x)(x-xi)^nto0 Longrightarrow f^(n)(xi)n!>=0 Longrightarrow f^(n)(xi)>=0
Como já sabemos que f^(n)(xi)neq0, segue f^(n)(xi)>0.

Resposta

xi é ponto de mínimo local de f se, e somente se, f^(n)(xi)>0.

Exercícios relacionados