Exercício 9. (B. 18, ex.18.20) Determine a função de Green para o seguinte problema de Sturm:
,
. (Suponha que
e
são valores que permitam a construção de funções de Green)
Passo 1
O problema é resolver
sujeito às condições de contorno lineares homogêneas
ou seja, um caso canônico de Sturm–Liouville com
. Para construir a função de Green vamos achar duas soluções independentes da equação homogênea
que obedeçam, cada uma, a uma das condições de contorno, depois calcular o wronskiano e montar
de forma padrão.
Passo 2
As soluções gerais de
são afins:
Vamos escolher uma solução
que satisfaça a condição em
:
Tomamos
pois então
e
, logo
Passo 3
Analogamente, escolhemos
que satisfaça a condição em
:
Basta definir
pois
,
, e assim
Passo 4
Calculamos o wronskiano
. Como
e
, temos
que é constante e, por hipótese,
.
Passo 5
A função de Green para
Substituindo , obtemos