Exercício 9. (B. 18, ex.18.20) Determine a função de Green para o seguinte problema de Sturm: u^prime prime(x)=f(x), com alpha1 u(a)+alpha2 u^prime(a)=0, beta1 u(b)+beta2 u^prime(b)=0, com x in[a, b], a<b. (Suponha que alpha1, alpha2, beta1 e beta2 são valores que permitam a construção de funções de Green)

Passo 1

O problema é resolver
u''(x)=f(x), xin[a,b],
sujeito às condições de contorno lineares homogêneas
alpha1,u(a)+alpha2,u'(a)=0, beta1,u(b)+beta2,u'(b)=0,
ou seja, um caso canônico de Sturm–Liouville com L[u]=u''. Para construir a função de Green vamos achar duas soluções independentes da equação homogênea u''=0 que obedeçam, cada uma, a uma das condições de contorno, depois calcular o wronskiano e montar G(x,s) de forma padrão.

Passo 2

As soluções gerais de u''=0 são afins:
u(x)=C1+C2,x
Vamos escolher uma solução phi1(x) que satisfaça a condição em x=a:
alpha1,phi1(a)+alpha2,phi1'(a)=0
Tomamos
phi1(x)=alpha2-alpha1,(x-a),
pois então phi1(a)=alpha2 e phi1'(x)=-alpha1, logo
alpha1,phi1(a)+alpha2,phi1'(a) =alpha1,alpha2+alpha2(-alpha1)=0

Passo 3

Analogamente, escolhemos phi2(x) que satisfaça a condição em x=b:
beta1,phi2(b)+beta2,phi2'(b)=0
Basta definir
phi2(x)=beta2-beta1,(x-b),
pois phi2(b)=beta2, phi2'(x)=-beta1, e assim
beta1,phi2(b)+beta2,phi2'(b) =beta1,beta2+beta2(-beta1)=0

Passo 4

Calculamos o wronskiano W(x)=phi1(x),phi2'(x)-phi1'(x),phi2(x). Como phi1'(x)=-alpha1 e phi2'(x)=-beta1, temos
W =l(alpha2-alpha1(x-a)r)(-beta1) -(-alpha1)l(beta2-beta1(x-b)r)
;=alpha1beta2-alpha2beta1 +alpha1beta1,(b-a) =:De<a,
que é constante e, por hipótese, De<aneq0.

Passo 5

A função de Green para
Substituindo , obtemos
]

Resposta

G(x,s)= dfracl(alpha2-alpha1(x-a)r),l(beta2-beta1(s-b)r)alpha1beta2-alpha2beta1+alpha1beta1(b-a), & a<= x<= s<= b,[1em] dfracl(alpha2-alpha1(s-a)r),l(beta2-beta1(x-b)r)alpha1beta2-alpha2beta1+alpha1beta1(b-a), & a<= s<= x<= b ]

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