Ache a função de Green do problema abaixo:
Exercício 10. (F. 10.1, ex.2.5)
c x^2 u^prime prime-2 x u^prime+2 u=f u(1)=u(2)=0

Passo 1

O problema pede a função de Green para o BVP
x^2u''(x)-2x,u'(x)+2,u(x)=f(x), u(1)=u(2)=0
Isso envolve equações diferenciais de 2ª ordem e construção de Green: primeiro achamos as soluções da equação homogênea
x^2u''-2xu'+2u=0,
depois montamos G(x,s) em duas regiões x<s e x>s, aplicamos as condições de contorno, continuidade em x=s e salto da derivada.

Passo 2

Resolver a homogênea por tentativa u=x^m. Substituindo em
x^2m(m-1)x^m-2-2xcdot m x^m-1+2x^m=0
vem o polinômio característico
m(m-1)-2m+2=m^2-3m+2=(m-1)(m-2)=0,
portanto as soluções fundamentais são
u1(x)=x, u2(x)=x^2

Passo 3

Pela teoria, podemos escrever
G(x,s)= A(s),x+B(s),x^2,&x<s, C(s),x+D(s),x^2,&x>s
Impondo
1. contorno em x=1: G(1,s)=0,
2. contorno em x=2: G(2,s)=0,
3. continuidade em x=s: G(s^-,s)=G(s^+,s),
4. salto da derivada
partial Gpartial x|x=s^+ -partial Gpartial x|x=s^- =1a2(s),
onde a2(x)=x^2, logo o salto vale 1/s^2.

Passo 4

Escrevendo as quatro equações:
A+B=0, 2C+4D=0, A,s+B,s^2=C,s+D,s^2, l(C+2D,sr)-l(A+2B,sr)=tfrac1s^2
Dessas obtém-se
D=s-1s^3, B=s-2s^3, A=-B=-s-2s^3, C=-2D=-2(s-1)s^3

Passo 5

G(x,s)= dfracs-2s^3l(x^2-xr),&1<= x<s,[1em] dfracs-1s^3l(x^2-2xr),&s<x<=2 ]

Resposta

G(x,s)= s-2s^3l(x^2-xr),&x<s,[0.8em] s-1s^3l(x^2-2xr),&x>s ]

Exercícios relacionados