Sejam a in R e f, g funções reais. Sabendo que g é constante, quais dos limites abaixo que podemos afirmar com certeza que existem:
lim x a g(f(x))

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício sobre limites de funções. A gente tem duas funções, $ f $ e $ g $, onde $ g $ é constante. O que a gente precisa descobrir é se o limite f existe, sabendo que $ g $ é uma função constante. Para isso, vamos usar conceitos básicos de limites e propriedades de funções constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função constante. Uma função $ g $ é constante se, para todo $ x $ no domínio dela, $ g(x) $ sempre resulta no mesmo valor. Ou seja, não importa qual seja o $ x $, $ g(x) $ é sempre igual a um número fixo, digamos $ c $.

Passo 3

Agora, vamos analisar a composição das funções $ g(f(x)) $. Como $ g $ é constante, independente do que $ f(x) $ retorne, $ g(f(x)) $ sempre será igual a $ c $. Isso significa que $ g(f(x)) = c $ para todo $ x $.

Passo 4

Com isso, vamos calcular o limite limx a g(f(x)). Já que $ g(f(x)) $ é sempre $ c $, o limite quando $ x $ se aproxima de qualquer valor $ a $ será simplesmente $ c $.

Resposta

O limite existe e é igual a $ c $, ou seja, c .

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