Sejam a in R e f, g funções reais. Sabendo que g é constante, quais dos limites abaixo que podemos afirmar com certeza que existem:
lim x a f(g(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um número real $ a $ e duas funções reais $ f $ e $ g $. Sabemos que $ g $ é constante, ou seja, não muda seu valor. A questão pergunta quais limites, especificamente $ \lim_{x \rightarrow a} f(g(x)) $, podemos afirmar com certeza que existem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o limite de uma função composta e o que acontece quando uma das funções é constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função constante. Uma função $ g $ é constante se, para todo $ x $ no seu domínio, $ g(x) $ sempre retorna o mesmo valor. Por exemplo, se $ g(x) = c $, onde $ c $ é uma constante, então $ g(x) $ nunca muda, independente de $ x $.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o limite $ \lim_{x \rightarrow a} f(g(x)) $. Como $ g(x) $ é constante, digamos que $ g(x) = c $ para todo $ x $. Então, $ f(g(x)) $ se transforma em $ f© $, que também é uma constante, porque $ f $ está recebendo sempre o mesmo valor $ c $.

Passo 4

Sabemos que o limite de uma função constante, quando $ x $ tende a qualquer valor, é simplesmente o valor da constante. Ou seja, $ \lim_{x \rightarrow a} f© = f© $. Isso porque, não importa para onde $ x $ se aproxima, a função sempre dá o mesmo resultado.

Passo 5

Portanto, como $ g $ é constante e $ f(g(x)) $ é uma constante, o limite $ \lim_{x \rightarrow a} f(g(x)) $ sempre existirá e será igual a $ f© $.

Resposta

O limite $ \lim_{x \rightarrow a} f(g(x)) $ existe e é igual a $ f© $, onde $ c $ é o valor constante de $ g(x) $.

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