Sejam as integrais:
\mathrm{C}=\iint_{R}(3-x-y) d A onde R é a região retangular dada por [0,1] \times[0,2]
Digite o valor encontrado para cada integral acima.
USE VÍRGULAS REPRESENTAR OS NÚMEROS DECIMAIS E APROXIMAÇÃO COM 1 CASA DECIMAL.
\mathrm{C}=

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
\mathrm{C}=\iint_{R}(3-x-y)\,dA
onde R é o retângulo [0,1]\times[0,2]. O que é pedido: calcular o valor numérico de \mathrm{C}.

Passo 2

Ideia do cálculo (explicação didática). Para integrar uma função numa região retangular R=[a,b]\times[c,d] pode-se trocar a integral dupla por uma integral iterada (regra de Fubini para retângulos). Ou seja,
\iint_{R} f(x,y)\,dA=\int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=c}^{d} f(x,y)\,dy\right)dx
ou trocando a ordem de integração. Aqui x e y são as variáveis; ao integrar primeiro em y tratamos x como constante, e vice-versa.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, tomo a ordem dy depois dx. A integral vira
\mathrm{C}=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{2}(3-x-y)\,dy\right)dx.
Isso significa: para cada x fixo integro a função em y de 0 a 2, obtenho uma função de x, e depois integro essa função em x de 0 a 1.

Passo 4

Calcule a integral interna em y. A antiderivada de 3-x-y em relação a y (considerando x constante) é
\int(3-x-y)\,dy=(3-x)y-\frac{y^{2}}{2}+C.
Aqui C é constante de integração que desaparece após avaliarmos os limites.

Passo 5

Avalio a antiderivada de y=0 a y=2:
\int_{y=0}^{2}(3-x-y)\,dy=\left[(3-x)y-\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=(3-x)\cdot 2-\frac{2^{2}}{2}-0.
Faço as contas passo a passo: (3-x)\cdot 2=6-2x e \dfrac{2^{2}}{2}=2. Portanto o resultado é 6-2x-2=4-2x.

Passo 6

Substituo o resultado na integral externa. Assim
\mathrm{C}=\int_{x=0}^{1}(4-2x)\,dx.
Agora integro em x. A antiderivada de 4-2x em relação a x é
\int(4-2x)\,dx=4x-x^{2}+C.

Passo 7

Avalio essa antiderivada de x=0 a x=1:
\left[4x-x^{2}\right]_{0}^{1}= (4\cdot 1-1^{2})-(0)=4-1.
Portanto a integral vale 4-1.

Passo 8

Faço a subtração final: 4-1=3. (Este é o valor numérico da integral dupla.)

Resposta

3,0

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