\lim _{x \rightarrow 5} \frac{\sqrt{2 x+7}-\sqrt{17}}{x-5},

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 5:
\lim_{x\rightarrow 5}\frac{\sqrt{2x+7}-\sqrt{17}}{x-5}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão com numerador \sqrt{2x+7}-\sqrt{17} e denominador x-5.
  • O ponto em que o limite é pedido é x=5.

Passo 2

Teste de substituição direta: substituir x=5 na expressão para ver se obtemos um valor imediato.
\sqrt{2\cdot5+7}-\sqrt{17}=\sqrt{17}-\sqrt{17}=0, \qquad 5-5=0.
Portanto a substituição direta dá a forma \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só por substituição; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Método escolhido: racionalizar o numerador. A ideia é multiplicar numerador e denominador pela conjugada do numerador, que é \sqrt{2x+7}+\sqrt{17}. Esse procedimento usa a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2, que costuma eliminar raízes na diferença.
Multiplicamos top e bottom por \sqrt{2x+7}+\sqrt{17}:
\frac{\sqrt{2x+7}-\sqrt{17}}{x-5}\cdot\frac{\sqrt{2x+7}+\sqrt{17}}{\sqrt{2x+7}+\sqrt{17}} =\frac{\big(\sqrt{2x+7}-\sqrt{17}\big)\big(\sqrt{2x+7}+\sqrt{17}\big)}{(x-5)\big(\sqrt{2x+7}+\sqrt{17}\big)}.

Passo 4

Aplicando (a-b)(a+b)=a^2-b^2 no numerador com a=\sqrt{2x+7} e b=\sqrt{17}:
\big(\sqrt{2x+7}\big)^2-\big(\sqrt{17}\big)^2=(2x+7)-17=2x-10=2(x-5).
Substituindo isso na fração obtemos
\frac{2(x-5)}{(x-5)\big(\sqrt{2x+7}+\sqrt{17}\big)}.

Passo 5

Agora podemos cancelar o fator comum x-5 no numerador e denominador. Atenção: a razão original não está definida em x=5, mas o limite usa valores de x próximos de 5 e diferentes de 5, então o cancelamento é válido para o cálculo do limite. Após cancelar:
\frac{2}{\sqrt{2x+7}+\sqrt{17}}.

Passo 6

Com a forma simplificada já não há indeterminação; podemos calcular o limite substituindo x=5:
\lim_{x\rightarrow 5}\frac{2}{\sqrt{2x+7}+\sqrt{17}} =\frac{2}{\sqrt{2\cdot5+7}+\sqrt{17}} =\frac{2}{\sqrt{17}+\sqrt{17}} =\frac{2}{2\sqrt{17}} =\frac{1}{\sqrt{17}}.

Passo 7

Comentário didático adicional (opcional): a expressão original é exatamente o quociente diferencial de g(x)=\sqrt{2x+7} em x=5, ou seja
\frac{g(x)-g(5)}{x-5}.
Esse tipo de limite define a derivada g'(5). Calculando a derivada diretamente:
g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2x+7}}\cdot(2)=\frac{1}{\sqrt{2x+7}},
logo g'(5)=\dfrac{1}{\sqrt{17}}, que coincide com o resultado encontrado pela racionalização.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{17}}

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