Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas:
- A expressão é uma razão com numerador
e denominador . - O ponto em que o limite é pedido é
.
Passo 2
Teste de substituição direta: substituir
na expressão para ver se obtemos um valor imediato.
Portanto a substituição direta dá a forma
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só por substituição; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Método escolhido: racionalizar o numerador. A ideia é multiplicar numerador e denominador pela conjugada do numerador, que é
. Esse procedimento usa a identidade
, que costuma eliminar raízes na diferença.
Multiplicamos top e bottom por
:
Passo 4
Aplicando
no numerador com
e
:
Substituindo isso na fração obtemos
Passo 5
Agora podemos cancelar o fator comum
no numerador e denominador. Atenção: a razão original não está definida em
, mas o limite usa valores de
próximos de
e diferentes de
, então o cancelamento é válido para o cálculo do limite. Após cancelar:
Passo 6
Com a forma simplificada já não há indeterminação; podemos calcular o limite substituindo
:
Passo 7
Comentário didático adicional (opcional): a expressão original é exatamente o quociente diferencial de
em
, ou seja
Esse tipo de limite define a derivada
. Calculando a derivada diretamente:
logo
, que coincide com o resultado encontrado pela racionalização.