\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+16 y=0 \quad x_{o}=0.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(1-x^{2})\,y''-x\,y'+16\,y=0
e o ponto inicial (centro) x_{0}=0. O que devemos obter é a solução geral da equação em torno de x=0 (isto é, as soluções válidas numa vizinhança de x=0). As informações dadas que usaremos são:
  • A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes em função de x: (1-x^{2})y''-x y'+16 y=0.
  • O ponto de interesse é x_{0}=0.

Passo 2

Por que usar série de potências em torno de x=0? Primeiro verificamos se x=0 é um ponto ordinário. Para isso colocamos a equação na forma padrão dividindo por 1-x^{2} (onde definido):
y''+\frac{-x}{1-x^{2}}\,y'+\frac{16}{1-x^{2}}\,y=0.
As funções \frac{-x}{1-x^{2}} e \frac{16}{1-x^{2}} são analíticas em x=0 (podem ser desenvolvidas em série de potências em torno de 0), logo x=0 é um ponto ordinário. Isso garante que existe uma solução em série de potências centrada em 0. A técnica será supor uma solução em série de potências e determinar os coeficientes por recorrência.

Passo 3

Assumimos uma solução do tipo série de potências centrada em 0:
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}.
As derivadas são
y'=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1}x^{n}, \qquad y''=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}.

Passo 4

Substituímos y, y' e y'' na equação original. Primeiro o termo (1-x^{2})y'' gera duas séries:
(1-x^{2})y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} -\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n+2}.
O termo -x y' é
-x y'=-\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^{n+1}.
E o termo 16y é
16y= \sum_{n=0}^{\infty}16 a_{n}x^{n}.

Passo 5

Agora colocamos tudo como séries em potências de x^{n} (coeficiente de x^{n}). Para o segundo somatório de (1-x^{2})y'' reindexamos: -\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n+2} contribui para potências a partir de x^{2}; podemos escrever seu coeficiente em x^{n} como -(n)(n-1)a_{n} válido para n\ge 2. Para -x y' reindexando obtemos coeficiente em x^{n} igual a -n a_{n} para n\ge 1 (e zero para n=0). Somando os contribuintes para cada potência x^{n} (válido para n\ge 0) obtemos a relação:
(n+2)(n+1)a_{n+2} - n(n-1)a_{n} - n a_{n} + 16 a_{n} = 0.
Simplificando os termos que multiplicam a_{n}:
-n(n-1) - n + 16 = -n^{2} + 16.
Assim a recorrência geral fica:
(n+2)(n+1)a_{n+2} +(-n^{2}+16)a_{n}=0.
Isolando a_{n+2}:
a_{n+2}=\frac{n^{2}-16}{(n+2)(n+1)}\,a_{n},\qquad n\ge 0.

Passo 6

Interpretação da recorrência e separação por paridade. A recorrência liga a_{n+2} a a_{n}, ou seja, coeficientes com mesma paridade ficam ligados. Logo existem duas constantes independentes iniciais a_{0} (para termos pares) e a_{1} (para termos ímpares). A solução geral é combinação linear das séries geradas por a_{0} e por a_{1}.

Passo 7

Calculamos explicitamente alguns coeficientes para ver o padrão e obter as séries até os primeiros termos.
Para n=0 obtemos:
a_{2}=\frac{0^{2}-16}{2\cdot 1}a_{0}=\frac{-16}{2}a_{0}=-8a_{0}.
Para n=1 obtemos:
a_{3}=\frac{1^{2}-16}{3\cdot 2}a_{1}=\frac{-15}{6}a_{1}=-\frac{5}{2}a_{1}.
Para a cadeia par, continuação:
  • n=2:
a_{4}=\frac{2^{2}-16}{4\cdot 3}a_{2}=\frac{-12}{12}a_{2}=-a_{2}= -(-8a_{0})=8a_{0}.
  • n=4:
a_{6}=\frac{4^{2}-16}{6\cdot 5}a_{4}=\frac{0}{30}a_{4}=0.
Uma vez que a_{6}=0, todos os coeficientes pares seguintes (por recorrência) serão zero. Portanto a série par termina: é um polinômio de grau 4.
Para a cadeia ímpar, continuação:
  • n=3:
a_{5}=\frac{3^{2}-16}{5\cdot 4}a_{3}=\frac{-7}{20}a_{3}=\frac{-7}{20}\left(-\frac{5}{2}a_{1}\right)=\frac{7}{8}a_{1}.
  • n=5:
a_{7}=\frac{5^{2}-16}{7\cdot 6}a_{5}=\frac{9}{42}a_{5}=\frac{3}{14}\cdot\frac{7}{8}a_{1}=\frac{3}{16}a_{1}.
Esses coeficientes não se anulam em geral, então a série ímpar é infinita.

Passo 8

Escrevemos as duas séries fundamentais (uma gerada por a_{0} e outra por a_{1}) com os coeficientes calculados.
Tomando a_{0}=1 e a_{1}=0 obtemos a solução par (polinomial):
y_{1}(x)=1-8x^{2}+8x^{4}.
Tomando a_{0}=0 e a_{1}=1 obtemos a solução ímpar (série infinita cujos primeiros termos são):
y_{2}(x)=x-\frac{5}{2}x^{3}+\frac{7}{8}x^{5}+\frac{3}{16}x^{7}+\cdots
onde os coeficientes seguem a recorrência
a_{n+2}=\frac{n^{2}-16}{(n+2)(n+1)}a_{n}.

Passo 9

Como a equação é linear e de segunda ordem, a solução geral é combinação linear das duas soluções independentes y_{1} e y_{2}. Assim, para constantes arbitrárias C_{1} e C_{2} temos a solução geral válida numa vizinhança de x=0:
y(x)=C_{1}\bigl(1-8x^{2}+8x^{4}\bigr)+C_{2}\Bigl(x-\tfrac{5}{2}x^{3}+\tfrac{7}{8}x^{5}+\tfrac{3}{16}x^{7}+\cdots\Bigr).

Resposta

y(x)=C_{1}\bigl(1-8x^{2}+8x^{4}\bigr)+C_{2}\Bigl(x-\tfrac{5}{2}x^{3}+\tfrac{7}{8}x^{5}+\tfrac{3}{16}x^{7}+\cdots\Bigr)

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