.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e o ponto inicial (centro)
. O que devemos obter é a solução geral da equação em torno de
(isto é, as soluções válidas numa vizinhança de
). As informações dadas que usaremos são:
- A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes em função de
: . - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Por que usar série de potências em torno de
? Primeiro verificamos se
é um ponto ordinário. Para isso colocamos a equação na forma padrão dividindo por
(onde definido):
As funções
e
são analíticas em
(podem ser desenvolvidas em série de potências em torno de
), logo
é um ponto ordinário. Isso garante que existe uma solução em série de potências centrada em
. A técnica será supor uma solução em série de potências e determinar os coeficientes por recorrência.
Passo 3
Assumimos uma solução do tipo série de potências centrada em
:
As derivadas são
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação original. Primeiro o termo
gera duas séries:
O termo
é
E o termo
é
Passo 5
Agora colocamos tudo como séries em potências de
(coeficiente de
). Para o segundo somatório de
reindexamos:
contribui para potências a partir de
; podemos escrever seu coeficiente em
como
válido para
. Para
reindexando obtemos coeficiente em
igual a
para
(e zero para
). Somando os contribuintes para cada potência
(válido para
) obtemos a relação:
Simplificando os termos que multiplicam
:
Assim a recorrência geral fica:
Isolando
:
Passo 6
Interpretação da recorrência e separação por paridade. A recorrência liga
a
, ou seja, coeficientes com mesma paridade ficam ligados. Logo existem duas constantes independentes iniciais
(para termos pares) e
(para termos ímpares). A solução geral é combinação linear das séries geradas por
e por
.
Passo 7
Calculamos explicitamente alguns coeficientes para ver o padrão e obter as séries até os primeiros termos.
Para
obtemos:
Para
obtemos:
Para a cadeia par, continuação:
-
:
-
:
Uma vez que
, todos os coeficientes pares seguintes (por recorrência) serão zero. Portanto a série par termina: é um polinômio de grau
.
Para a cadeia ímpar, continuação:
-
:
-
:
Esses coeficientes não se anulam em geral, então a série ímpar é infinita.
Passo 8
Escrevemos as duas séries fundamentais (uma gerada por
e outra por
) com os coeficientes calculados.
Tomando
e
obtemos a solução par (polinomial):
Tomando
e
obtemos a solução ímpar (série infinita cujos primeiros termos são):
onde os coeficientes seguem a recorrência
Passo 9
Como a equação é linear e de segunda ordem, a solução geral é combinação linear das duas soluções independentes
e
. Assim, para constantes arbitrárias
e
temos a solução geral válida numa vizinhança de
: