Sejam m_{1}, m_{2} inteiros relativamente primos e seja a um inteiro arbitrário… Prove que a \equiv 0 ( \left.\bmod m_{1} m_{2}\right) se, e somente se, a \equiv 0\left(\bmod m_{1}\right) e a \equiv 0\left(\bmod m_{2}\right). Mostrar com um exemplo que a hipótese m d c\left(m_{1}, m_{2}\right)=1 é essencial.

Passo 1

O enunciado dá: m_{1},m_{2} são inteiros com \gcd(m_{1},m_{2})=1 e a é um inteiro qualquer. Pede-se para provar a equivalência:
a \equiv 0 \pmod{m_{1}m_{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad \big(a\equiv 0\pmod{m_{1}}\\ \text{e}\\ a\equiv 0\pmod{m_{2}}\big).
Vou entender e usar a interpretação padrão de congruência: a\equiv 0\pmod{m} significa que m divide a (ou seja, existe inteiro k tal que a=m k). Não resolvo nada ainda; apenas registrei o que é dado e o que é pedido.

Passo 2

Provo a implicação direta: se a\equiv 0\pmod{m_{1}m_{2}} então a\equiv 0\pmod{m_{1}} e a\equiv 0\pmod{m_{2}}.
Explicação e conta: a\equiv 0\pmod{m_{1}m_{2}} significa que existe inteiro t com
a = m_{1}m_{2}\,t.
Como m_{1} divide o produto m_{1}m_{2}t, segue que m_{1}\mid a, ou seja a\equiv 0\pmod{m_{1}}. De modo análogo, m_{2}\mid a, portanto a\equiv 0\pmod{m_{2}}. Isso usa apenas a propriedade básica: se x divide y e y divide z, então x divide z; aqui basta ver que m_{1} divide m_{1}m_{2}t.

Passo 3

Agora prove a implicação recíproca usando que \gcd(m_{1},m_{2})=1: se a\equiv 0\pmod{m_{1}} e a\equiv 0\pmod{m_{2}} então a\equiv 0\pmod{m_{1}m_{2}}.
Primeiro reescrevo as hipóteses em forma de divisibilidade: existem inteiros s e r tais que
a = m_{1}s \quad\text{e}\quad a = m_{2}r.
A partir de a=m_{1}s obtemos que m_{2} divide m_{1}s, isto é m_{2}\mid (m_{1}s). Para concluir que m_{1}m_{2}\mid a preciso mostrar que, apesar de m_{2} dividir o produto m_{1}s, ele divide já o fator s — e aí entra a hipótese \gcd(m_{1},m_{2})=1.

Passo 4

Apresento e provo um lema útil (muito usado em provas de teoria dos números):
Lema. Se inteiros d,x,y satisfazem d\mid (x y) e \gcd(d,x)=1, então d\mid y.
Prova do lema (passo a passo, usando identidade de Bézout): como \gcd(d,x)=1, o Teorema de Bézout garante que existem inteiros u,v tais que
u d + v x = 1.
Multiplico essa identidade por y:
y = u d y + v x y.
Pelo enunciado do lema d\mid(x y), então d divide v x y; e claramente d divide u d y. Assim d divide a soma u d y + v x y, que é igual a y. Logo d\mid y. Isso prova o lema.

Passo 5

Aplico o lema à nossa situação: tomemos d=m_{2}, x=m_{1} e y=s (onde a=m_{1}s como em Passo 3). Temos m_{2}\mid (m_{1}s) e \gcd(m_{2},m_{1})=1, então pelo lema segue que m_{2}\mid s. Assim existe inteiro t tal que s = m_{2}t. Substituindo em a=m_{1}s
a = m_{1}(m_{2}t) = (m_{1}m_{2})\,t,
logo m_{1}m_{2}\mid a, isto é a\equiv 0\pmod{m_{1}m_{2}}. Isso completa a prova da implicação recíproca.

Passo 6

Conclusão final da prova: com os Passos 2 e 5 mostrei as duas implicações, portanto, quando \gcd(m_{1},m_{2})=1,
a \equiv 0 \pmod{m_{1}m_{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad \big(a\equiv 0\pmod{m_{1}}\\ \text{e}\\ a\equiv 0\pmod{m_{2}}\big).
Agora apresento um exemplo que mostra que a hipótese \gcd(m_{1},m_{2})=1 é essencial (ou seja, sem ela a afirmação pode falhar).
Exemplo (contraexemplo quando não são primos entre si): escolha m_{1}=4, m_{2}=6 (aqui \gcd(4,6)=2\neq 1). Tome a=12. Calculamos:
12\equiv 0\pmod{4}\quad\text{e}\quad 12\equiv 0\pmod{6},
porque 4\mid 12 e 6\mid 12. Porém m_{1}m_{2}=24 não divide 12, logo
12\not\equiv 0\pmod{24}.
Portanto a equivalência falha se \gcd(m_{1},m_{2})\neq 1; a hipótese é realmente necessária.

Resposta

\displaystyle a\equiv 0\pmod{m_{1}m_{2}}\iff\big(a\equiv 0\pmod{m_{1}}\\ \text{e}\\ a\equiv 0\pmod{m_{2}}\big) quando \gcd(m_{1},m_{2})=1.\nExemplo que mostra que a hipótese é essencial: m_{1}=4,\\ m_{2}=6,\\ a=12 satisfaz 12\equiv0\pmod{4} e 12\equiv0\pmod{6} mas 12\not\equiv0\pmod{24}.

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