Seja a um número inteiro.Mostre que se 2 \nmid a e 3 \nmid a então a^{2} \equiv 1(\bmod 24).

Passo 1

O enunciado dá: a é um número inteiro tal que 2\nmid a e 3\nmid a. As perguntas são: mostrar (ou provar) que, sob essas hipóteses, temos
a^{2}\equiv 1 \pmod{24}.
Informações relevantes dadas:
  • 2\nmid a significa que a é ímpar.
  • 3\nmid a significa que a não é múltiplo de 3.

Passo 2

Antes de começar a cálculos, vou explicar a ideia que vou usar (com calma, como um amigo que te guia). Uma congruência x\equiv y\pmod{n} significa que n divide x-y. Se a gente provar que a^{2}\equiv 1\pmod{8} e também que a^{2}\equiv 1\pmod{3}, então como 8 e 3 são coprimos (ou seja, \gcd(8,3)=1) a diferença a^{2}-1 será divisível por ambos 8 e 3, logo será divisível pelo mínimo múltiplo comum, \operatorname{lcm}(8,3)=24. Assim teremos a^{2}\equiv 1\pmod{24}. Vou provar essas duas congruências menores com detalhes. Esta estratégia é prática e direta — em provas rápidas é a maneira usual.

Passo 3

Provar que a^{2}\equiv 1\pmod{8} quando a é ímpar.
Como a é ímpar, existe um inteiro k tal que
a=2k+1.
Calculemos a^{2}:
a^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=4k(k+1)+1.
Observe que k e k+1 são inteiros consecutivos, então um deles é par; portanto o produto k(k+1) é par. Logo existe um inteiro m tal que k(k+1)=2m. Substituindo,
a^{2}=4\cdot 2m + 1 = 8m + 1.
Isto mostra que a^{2}-1=8m é múltiplo de 8, ou seja,
a^{2}\equiv 1 \pmod{8}.
(Exemplo rápido para fixar: se a=5 então a^{2}=25=8\cdot 3+1.)

Passo 4

Provar que a^{2}\equiv 1\pmod{3} quando 3\nmid a.
Os restos possíveis ao dividir um inteiro por 3 são 0,1,2. Como 3\nmid a, a não tem resto 0, então o resto é 1 ou 2. Em termos de congruência isso é:
a\equiv 1\pmod{3}\quad\text{ou}\quad a\equiv 2\pmod{3}.
Se a\equiv 1\pmod{3} então claramente a^{2}\equiv 1^{2}\equiv 1\pmod{3}. Se a\equiv 2\pmod{3}, note que 2\equiv -1\pmod{3}, então
a^{2}\equiv 2^{2}\equiv (-1)^{2}\equiv 1\pmod{3}.
Assim, em ambos os casos temos
a^{2}\equiv 1 \pmod{3}.
(Exemplo rápido: a=5 25\equiv 1\pmod{3}.)

Passo 5

Combinar as duas congruências e concluir para \pmod{24}.
Já provamos que
a^{2}\equiv 1\pmod{8}\quad\text{e}\quad a^{2}\equiv 1\pmod{3}.
Isto significa que 8\mid (a^{2}-1) e 3\mid (a^{2}-1). Como 3 e 8 são coprimos, seu mínimo múltiplo comum é 24. Se um inteiro é divisível por 8 e por 3 ao mesmo tempo, então ele é divisível por 24. Portanto 24\mid (a^{2}-1), o que se escreve como
a^{2}\equiv 1 \pmod{24}.
Essa é a combinação direta das duas congruências menores — é uma aplicação simples do fato de que se m\mid N e n\mid N e \gcd(m,n)=1 então \operatorname{lcm}(m,n)=mn divide N.

Passo 6

Comentário de reforço e ânimo: o argumento foi curto e usa só duas ideias simples — desenvolver o quadrado de um ímpar para ver a divisibilidade por 8, e olhar os restos módulo 3 para ver que o quadrado é 1. Essas são ferramentas que caem muito em prova. Você consegue repetir esse raciocínio para números semelhantes; por exemplo, sempre que precisar combinar informações em módulos coprimos, pense em provar congruências em cada módulo menor e depois juntar.

Resposta

\displaystyle a^{2}\equiv 1\pmod{24}

Exercícios relacionados