Seja
um número inteiro.Mostre que se
e
então
.
Passo 1
O enunciado dá:
é um número inteiro tal que
e
. As perguntas são: mostrar (ou provar) que, sob essas hipóteses, temos
Informações relevantes dadas:
-
significa que é ímpar. -
significa que não é múltiplo de .
Passo 2
Antes de começar a cálculos, vou explicar a ideia que vou usar (com calma, como um amigo que te guia). Uma congruência
significa que
divide
. Se a gente provar que
e também que
, então como
e
são coprimos (ou seja,
) a diferença
será divisível por ambos 8 e 3, logo será divisível pelo mínimo múltiplo comum,
. Assim teremos
. Vou provar essas duas congruências menores com detalhes. Esta estratégia é prática e direta — em provas rápidas é a maneira usual.
Passo 3
Provar que
quando
é ímpar.
Como
é ímpar, existe um inteiro
tal que
Calculemos
:
Observe que
e
são inteiros consecutivos, então um deles é par; portanto o produto
é par. Logo existe um inteiro
tal que
. Substituindo,
Isto mostra que
é múltiplo de
, ou seja,
(Exemplo rápido para fixar: se
então
.)
Passo 4
Provar que
quando
.
Os restos possíveis ao dividir um inteiro por
são
. Como
,
não tem resto
, então o resto é
ou
. Em termos de congruência isso é:
Se
então claramente
. Se
, note que
, então
Assim, em ambos os casos temos
(Exemplo rápido:
dá
.)
Passo 5
Combinar as duas congruências e concluir para
.
Já provamos que
Isto significa que
e
. Como
e
são coprimos, seu mínimo múltiplo comum é
. Se um inteiro é divisível por
e por
ao mesmo tempo, então ele é divisível por
. Portanto
, o que se escreve como
Essa é a combinação direta das duas congruências menores — é uma aplicação simples do fato de que se
e
e
então
divide
.
Passo 6
Comentário de reforço e ânimo: o argumento foi curto e usa só duas ideias simples — desenvolver o quadrado de um ímpar para ver a divisibilidade por
, e olhar os restos módulo
para ver que o quadrado é
. Essas são ferramentas que caem muito em prova. Você consegue repetir esse raciocínio para números semelhantes; por exemplo, sempre que precisar combinar informações em módulos coprimos, pense em provar congruências em cada módulo menor e depois juntar.