Determine os algarismos da unidade de
.
Passo 1
O que o problema pede: determinar os algarismos da unidade de
— ou seja, encontrar o último dígito (o dígito das unidades) do número
.
Informações que temos do enunciado: a base é
e o expoente é
. Não há mais dados — tudo que precisamos vem de propriedades dos números e das potências.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida e prática): o algarismo das unidades de um número inteiro é o resto da divisão desse número por
. Em linguagem matemática dizemos que o algarismo das unidades de
é o valor de
módulo
, isto é,
. Então, para achar o algarismo das unidades de
basta calcular
.
Explicando sentado no sofá: quando dizemos
estamos dizendo que
e
têm o mesmo último dígito.
Passo 3
Vamos calcular os últimos dígitos das primeiras potências de
para ver se aparece um padrão. Faço isso calculando cada potência e anotando seu resto ao dividir por
:
-
→ algarismo das unidades: . -
→ algarismo das unidades: . -
→ algarismo das unidades: (peguei esse dado do cálculo ). -
→ algarismo das unidades: . -
→ algarismo das unidades: .
Repare que a partir de
até
os últimos dígitos foram
e em
o último dígito voltou a ser
. Ou seja, há um ciclo de comprimento
nos algarismos das unidades:
, depois repete.
Passo 4
Por que esse ciclo nos ajuda? Se as potências de
repetem o último dígito a cada
expoentes, então precisamos apenas saber em que posição do ciclo o expoente
está. Formalmente, como o ciclo tem comprimento
, usamos a congruência do expoente módulo
.
Regra prática: se o ciclo é
para expoentes
respectivamente, então para um expoente
o último dígito será
-
se , -
se , -
se , -
se (porque fica congruente a quando o resto é zero).
Aqui o ciclo é
correspondente a restos
módulo
.
Passo 5
Calcule
módulo
:
então
Passo 6
Como
,
corresponde à posição do quarto elemento do ciclo
. O quarto elemento do ciclo é
. Logo o algarismo das unidades de
é
.
Passo 7
Alternativa (argumento com congruências): note que
. Então
o que confirma que o último dígito é
.