Determine os algarismos da unidade de 3^{100}.

Passo 1

O que o problema pede: determinar os algarismos da unidade de 3^{100} — ou seja, encontrar o último dígito (o dígito das unidades) do número 3^{100}.
Informações que temos do enunciado: a base é 3 e o expoente é 100. Não há mais dados — tudo que precisamos vem de propriedades dos números e das potências.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e prática): o algarismo das unidades de um número inteiro é o resto da divisão desse número por 10. Em linguagem matemática dizemos que o algarismo das unidades de n é o valor de n módulo 10, isto é, n \bmod 10. Então, para achar o algarismo das unidades de 3^{100} basta calcular 3^{100}\bmod 10.
Explicando sentado no sofá: quando dizemos a\equiv b\pmod{10} estamos dizendo que a e b têm o mesmo último dígito.

Passo 3

Vamos calcular os últimos dígitos das primeiras potências de 3 para ver se aparece um padrão. Faço isso calculando cada potência e anotando seu resto ao dividir por 10:
  • \;3^{1}=3 → algarismo das unidades: \;3.
  • \;3^{2}=9 → algarismo das unidades: \;9.
  • \;3^{3}=27 → algarismo das unidades: \;7 (peguei esse dado do cálculo 27).
  • \;3^{4}=81 → algarismo das unidades: \;1.
  • \;3^{5}=243 → algarismo das unidades: \;3.
Repare que a partir de \;3^{1} até \;3^{4} os últimos dígitos foram \;3,9,7,1 e em \;3^{5} o último dígito voltou a ser \;3. Ou seja, há um ciclo de comprimento 4 nos algarismos das unidades: \;3,9,7,1, depois repete.

Passo 4

Por que esse ciclo nos ajuda? Se as potências de 3 repetem o último dígito a cada 4 expoentes, então precisamos apenas saber em que posição do ciclo o expoente 100 está. Formalmente, como o ciclo tem comprimento 4, usamos a congruência do expoente módulo 4.
Regra prática: se o ciclo é \{d_1,d_2,d_3,d_4\} para expoentes \{1,2,3,4\} respectivamente, então para um expoente n o último dígito será
  • d_1 se n\equiv 1\pmod{4},
  • d_2 se n\equiv 2\pmod{4},
  • d_3 se n\equiv 3\pmod{4},
  • d_4 se n\equiv 0\pmod{4} (porque n fica congruente a 4 quando o resto é zero).
Aqui o ciclo é \{3,9,7,1\} correspondente a restos 1,2,3,0 módulo 4.

Passo 5

Calcule 100 módulo 4:
100 \div 4 = 25\text{ com resto }0,
então
100\equiv 0\pmod{4}.

Passo 6

Como 100\equiv 0\pmod{4}, 3^{100} corresponde à posição do quarto elemento do ciclo \{3,9,7,1\}. O quarto elemento do ciclo é 1. Logo o algarismo das unidades de 3^{100} é 1.

Passo 7

Alternativa (argumento com congruências): note que \;3^{4}=81\equiv 1\pmod{10}. Então
3^{100}=(3^{4})^{25}\equiv 1^{25}\equiv 1\pmod{10},
o que confirma que o último dígito é 1.

Resposta

1

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