(a) Formule o problema de maximizar f sujeito a g=1 utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. Escreva o sistema de equações que deve ser satisfeito no ponto de máximo.
(b) Resolva o sistema obtido no item anterior, mostrando que no ponto crítico temse b_{i}=\lambda a_{i} para algum \lambda real. A seguir, use a restrição g=1 para determinar \lambda em função dos números a_{i}.
(c) Calcule o valor máximo de f sujeito a g=1, expressando a resposta em termos de \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}.
(d) Para vetores arbitrários \mathbf{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) e \mathbf{b}=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right), suponha que \mathbf{b} \neq \mathbf{0}. Aplique o resultado do item (c) ao vetor \mathbf{b} /\|\mathbf{b}\| e deduza a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
(e) Discuta quando ocorre a igualdade na desigualdade acima, com base no método dos multiplicadores.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede, claramente (peguei tudo do enunciado):
Dados: a_{1},a_{2},\ldots,a_{n} são números reais fixos, não todos nulos.
Definição da função a maximizar:
f(b_{1},\ldots,b_{n})=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}.
Restrição (superfície) sobre os b_{i}:
g(b_{1},\ldots,b_{n})=\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}=1.
O enunciado pede:
(a) Formular o problema de maximização usando multiplicadores de Lagrange e escrever o sistema de equações que deve ser satisfeito no ponto de máximo.
(b) Resolver o sistema e mostrar que existe \lambda tal que b_{i}=\lambda a_{i}; em seguida usar a restrição g=1 para determinar \lambda em função dos a_{i}.
(c) Calcular o valor máximo de f sob a restrição, em termos de \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}.
(d) Aplicar (c) ao vetor \mathbf{b}/\|\mathbf{b}\| e deduzir a desigualdade de Cauchy-Schwarz
(e) Discutir quando ocorre igualdade, usando o método dos multiplicadores.
A partir do Passo 2 começo a resolver cada um dos itens passo a passo, com explicações do método.
Passo 2
Ideia do método dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática curta): quando se quer otimizar uma função f(b_{1},\ldots,b_{n}) sujeita a uma restrição g(b_{1},\ldots,b_{n})=1, procura-se pontos onde o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Isso é formalizado definindo a função de Lagrange
onde \alpha é o multiplicador de Lagrange (um número real). Em um extremo sujeito à restrição, as derivadas parciais de \mathcal{L} em relação a cada b_{i} e a \alpha devem ser zero. Vou aplicar isso ao caso concreto.
Passo 3
Construção explícita da Lagrangiana e do sistema (resposta do item (a)):
Portanto os pontos críticos na esfera unitária são dados por b_{i}=\lambda a_{i} com \lambda igual a um dos dois sinais acima. O enunciado pediu apenas determinar \lambda em função dos a_{i}, e isso acabamos de fazer. (Para distinguir máximo e mínimo, veremos a seguir qual sinal dá o máximo.)
Passo 5
Determinar qual dos pontos críticos dá o máximo e calcular o valor máximo (item (c)):
mas, como o mínimo possível sobre a esfera é o negativo do máximo, na realidade para todo vetor unitário \mathbf{u} temos a desigualdade em valor absoluto
Condição de igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz (item (e)), via multiplicadores:
Pelo estudo dos pontos críticos na esfera, igualdade (caso em que o módulo da soma alcança o produto das normas) ocorre exatamente quando o vetor unitário que maximiza (ou minimiza) é colinear com a. Ou seja, a igualdade ocorre se e somente se existe um escalar real t tal que
\mathbf{b}=t\,\mathbf{a},
ou em coordenadas
b_{i}=t\,a_{i}\quad\text{para todo }i.
Em particular, se \mathbf{b}\neq\mathbf{0} e a igualdade na forma não quadrática
ocorre, então \mathbf{a} e \mathbf{b} são linearmente dependentes (colineares). O sinal de t determina se é o máximo (mesma direção, t>0) ou o mínimo (direções opostas, t<0).
Resposta
(a) \displaystyle a_{i}-2\alpha b_{i}=0 para i=1,\ldots,n, e \displaystyle \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}=1.
(b) \displaystyle b_{i}=\lambda a_{i} com \displaystyle \lambda=\pm\frac{1}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}}.
(c) \displaystyle \max_{\sum b_{i}^{2}=1}\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}.
(d) \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2} \le \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}\right).
(e) A igualdade ocorre exatamente quando \mathbf{b} é proporcional a \mathbf{a}, i.e. existe t\in\mathbb{R} tal que \displaystyle b_{i}=t\,a_{i} para todo i.