Sejam a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} números reais fixos, não todos nulos. Considere a função
f\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}
e a restrição
g\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}=1
(a) Formule o problema de maximizar f sujeito a g=1 utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. Escreva o sistema de equações que deve ser satisfeito no ponto de máximo.
(b) Resolva o sistema obtido no item anterior, mostrando que no ponto crítico temse b_{i}=\lambda a_{i} para algum \lambda real. A seguir, use a restrição g=1 para determinar \lambda em função dos números a_{i}.
(c) Calcule o valor máximo de f sujeito a g=1, expressando a resposta em termos de \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}.
(d) Para vetores arbitrários \mathbf{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) e \mathbf{b}=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right), suponha que \mathbf{b} \neq \mathbf{0}. Aplique o resultado do item (c) ao vetor \mathbf{b} /\|\mathbf{b}\| e deduza a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2} \leq\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}\right)
(e) Discuta quando ocorre a igualdade na desigualdade acima, com base no método dos multiplicadores.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede, claramente (peguei tudo do enunciado):
  • Dados: a_{1},a_{2},\ldots,a_{n} são números reais fixos, não todos nulos.
  • Definição da função a maximizar:
f(b_{1},\ldots,b_{n})=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}.
  • Restrição (superfície) sobre os b_{i}:
g(b_{1},\ldots,b_{n})=\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}=1.
O enunciado pede:
(a) Formular o problema de maximização usando multiplicadores de Lagrange e escrever o sistema de equações que deve ser satisfeito no ponto de máximo.
(b) Resolver o sistema e mostrar que existe \lambda tal que b_{i}=\lambda a_{i}; em seguida usar a restrição g=1 para determinar \lambda em função dos a_{i}.
(c) Calcular o valor máximo de f sob a restrição, em termos de \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}.
(d) Aplicar (c) ao vetor \mathbf{b}/\|\mathbf{b}\| e deduzir a desigualdade de Cauchy-Schwarz
\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2} \leq\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}\right).
(e) Discutir quando ocorre igualdade, usando o método dos multiplicadores.
A partir do Passo 2 começo a resolver cada um dos itens passo a passo, com explicações do método.

Passo 2

Ideia do método dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática curta): quando se quer otimizar uma função f(b_{1},\ldots,b_{n}) sujeita a uma restrição g(b_{1},\ldots,b_{n})=1, procura-se pontos onde o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Isso é formalizado definindo a função de Lagrange
\mathcal{L}(b_{1},\ldots,b_{n},\alpha)=f(b_{1},\ldots,b_{n})-\alpha\big(g(b_{1},\ldots,b_{n})-1\big),
onde \alpha é o multiplicador de Lagrange (um número real). Em um extremo sujeito à restrição, as derivadas parciais de \mathcal{L} em relação a cada b_{i} e a \alpha devem ser zero. Vou aplicar isso ao caso concreto.

Passo 3

Construção explícita da Lagrangiana e do sistema (resposta do item (a)):
  • Escrevo a Lagrangiana:
\mathcal{L}(b_{1},\ldots,b_{n},\alpha)=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}-\alpha\Big(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}-1\Big).
  • As condições de estacionaridade são as derivadas parciais iguais a zero:
Para cada i=1,\ldots,n,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial b_{i}} = a_{i} - 2\alpha b_{i} = 0,
e a derivada em relação a \alpha dá a restrição:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \alpha} = -\Big(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}-1\Big)=0 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}=1.
Portanto o sistema exigido (item (a)) é, para i=1,\ldots,n,
a_{i}-2\alpha b_{i}=0, \qquad \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}=1.

Passo 4

Resolver o sistema e obter b_{i}=\lambda a_{i} (item (b)) — desenvolvendo passo a passo:
  • Das equações a_{i}-2\alpha b_{i}=0 segue imediatamente
b_{i}=\frac{a_{i}}{2\alpha},\qquad i=1,\ldots,n,
desde que \alpha\neq0. (Se \alpha=0 então a_{i}=0 para todo i, o que contradiz a hipótese de que nem todos os a_{i} são zero. Logo \alpha\neq0.)
  • Para enfatizar a forma pedida no enunciado, defina o número real
\lambda := \frac{1}{2\alpha}.
Com essa definição obtemos exatamente
b_{i}=\lambda a_{i}\qquad\text{para todo }i.
  • Agora uso a restrição \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}=1. Substituindo b_{i}=\lambda a_{i} obtemos
1=\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n} \lambda^{2} a_{i}^{2}=\lambda^{2}\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}.
Como os a_{i} não são todos nulos, \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}>0, daí
\lambda^{2}=\frac{1}{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\pm\frac{1}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}}.
Portanto os pontos críticos na esfera unitária são dados por b_{i}=\lambda a_{i} com \lambda igual a um dos dois sinais acima. O enunciado pediu apenas determinar \lambda em função dos a_{i}, e isso acabamos de fazer. (Para distinguir máximo e mínimo, veremos a seguir qual sinal dá o máximo.)

Passo 5

Determinar qual dos pontos críticos dá o máximo e calcular o valor máximo (item (c)):
  • Avalio f em um ponto crítico b_{i}=\lambda a_{i}:
f(b)=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}(\lambda a_{i})=\lambda\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}.
  • Substituindo \lambda=\pm 1/\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}} obtemos os dois valores críticos
f_{\pm}=\pm\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}.
  • Portanto o valor máximo de f sujeito à restrição g=1 é o positivo:
\max_{\sum b_{i}^{2}=1}\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}.
Intuição curta: para maximizar a soma do produto, o vetor b deve apontar na mesma direção que a; para o mínimo, na direção oposta.

Passo 6

Aplicação ao vetor \mathbf{b}/\|\mathbf{b}\| e dedução da desigualdade de Cauchy-Schwarz (item (d)):
  • Seja um vetor arbitrário \mathbf{b} com \mathbf{b}\neq\mathbf{0}. Defina o vetor unitário
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}, \qquad\text{onde }\|\mathbf{b}\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}}.
  • Pelo item (c), para esse vetor unitário vale
\sum_{i=1}^{n} a_{i} u_{i} \le \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}},
mas, como o mínimo possível sobre a esfera é o negativo do máximo, na realidade para todo vetor unitário \mathbf{u} temos a desigualdade em valor absoluto
\left|\sum_{i=1}^{n} a_{i} u_{i}\right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}.
  • Substituindo u_{i}=b_{i}/\|\mathbf{b}\| e multiplicando ambos os lados por \|\mathbf{b}\| obtemos
\left|\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}\;\sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}}.
  • Elevando ao quadrado ambas as partes resulta exatamente na desigualdade de Cauchy-Schwarz pedida:
\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2} \le \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}\right).

Passo 7

Condição de igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz (item (e)), via multiplicadores:
  • Pelo estudo dos pontos críticos na esfera, igualdade (caso em que o módulo da soma alcança o produto das normas) ocorre exatamente quando o vetor unitário que maximiza (ou minimiza) é colinear com a. Ou seja, a igualdade ocorre se e somente se existe um escalar real t tal que
\mathbf{b}=t\,\mathbf{a},
ou em coordenadas
b_{i}=t\,a_{i}\quad\text{para todo }i.
  • Em particular, se \mathbf{b}\neq\mathbf{0} e a igualdade na forma não quadrática
\left|\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}\;\sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}}
ocorre, então \mathbf{a} e \mathbf{b} são linearmente dependentes (colineares). O sinal de t determina se é o máximo (mesma direção, t>0) ou o mínimo (direções opostas, t<0).

Resposta

(a) \displaystyle a_{i}-2\alpha b_{i}=0 para i=1,\ldots,n, e \displaystyle \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}=1.
(b) \displaystyle b_{i}=\lambda a_{i} com \displaystyle \lambda=\pm\frac{1}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}}.
(c) \displaystyle \max_{\sum b_{i}^{2}=1}\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}.
(d) \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2} \le \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}\right).
(e) A igualdade ocorre exatamente quando \mathbf{b} é proporcional a \mathbf{a}, i.e. existe t\in\mathbb{R} tal que \displaystyle b_{i}=t\,a_{i} para todo i.

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