Encontre a resposta ao estado nulo y(t) dos sistemas LTIC (linear, time-invariant, continuous-time) abaixo:
h(t)=6 e^{-t} u(t) \quad x(t)=e^{-t} u(t)

Passo 1

O enunciado pede a resposta ao estado nulo y(t) de um sistema LTIC quando a função de impulso (resposta ao impulso) e a entrada são:
h(t)=6 e^{-t} u(t), \qquad x(t)=e^{-t} u(t).
Pergunta direta: calcular y(t), que é a saída do sistema considerando condições iniciais nulas (ou seja, apenas o efeito da entrada).
Informações relevantes dadas:
  • As duas funções são multiplicadas pela função degrau unitário u(t), logo são causais (valem zero para t<0).
  • Os expoentes nas exponenciais são iguais (ambas com decaimento e^{-t}).
  • O sistema é linear e invariável no tempo, então a resposta ao estado nulo é dada pela convolução entre h(t) e x(t).

Passo 2

Conceito essencial (aqui aprendo o que vou aplicar): para um sistema LTIC, a resposta ao estado nulo é a convolução entre h(t) e x(t). A definição da convolução contínua é
y(t)=(h*x)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
Explicando os termos:
  • h(\tau) é a resposta ao impulso avaliada na variável de integração \tau.
  • x(t-\tau) é a entrada deslocada.
  • O integrando é produto das duas funções; a integral soma as contribuições de todos os instantes \tau.
  • Como h e x são multiplicadas por u(\cdot) (são causais), isso simplifica os limites de integração: só há contribuição quando ambas as funções são não nulas.

Passo 3

Substituo h e x na integral de convolução:
h(\tau)=6 e^{-\tau} u(\tau), \qquad x(t-\tau)=e^{-(t-\tau)} u(t-\tau).
Logo o integrando é
h(\tau)\,x(t-\tau)=6 e^{-\tau}\,e^{-(t-\tau)}\,u(\tau)\,u(t-\tau).
Faço a simplificação das exponenciais:
6 e^{-\tau}\,e^{-(t-\tau)} = 6 e^{-t},
pois os termos e^{-\tau} e e^{+\tau} (do e^{-(t-\tau)}=e^{-t+\tau}) se cancelam no expoente. Assim o integrando fica
6 e^{-t}\,u(\tau)\,u(t-\tau).

Passo 4

Agora determinar os limites de integração usando as funções degrau:
  • u(\tau)=1 para \tau\ge 0 e 0 para \tau<0.
  • u(t-\tau)=1 quando \tau\le t e 0 quando \tau>t.
Para que o produto u(\tau)u(t-\tau) seja 1 é necessário que \tau satisfaça 0\le \tau\le t. Portanto:
  • Se t<0, não existe \tau que satisfaça 0\le\tau\le t; a integral é nula.
  • Se t\ge 0, a integral corre sobre \tau de 0 até t.
Por isso a convolução reduz-se, para t\ge 0, a
y(t)=\int_{0}^{t} 6 e^{-t}\,d\tau.

Passo 5

Avalio a integral (faça isso na prova: fatorar constantes que não dependem de \tau):
y(t)=6 e^{-t}\int_{0}^{t} d\tau = 6 e^{-t}\,[\tau]_{0}^{t}=6 e^{-t}\,t.
Como para t<0 a saída é zero (devido à causalidade), posso escrever de forma compacta incluindo o degrau unitário:
y(t)=6\,t\,e^{-t}\,u(t).

Passo 6

Checagem alternativa (útil para aprender outra técnica): via transformada de Laplace — já que H(s)=\mathcal{L}\{6 e^{-t}u(t)\}=\dfrac{6}{s+1} e X(s)=\mathcal{L}\{e^{-t}u(t)\}=\dfrac{1}{s+1}. Pela propriedade da convolução,
Y(s)=H(s)X(s)=\frac{6}{(s+1)^2}.
A transformada inversa de \dfrac{1}{(s+1)^2} é t e^{-t}u(t), logo y(t)=6 t e^{-t}u(t), confirmando o resultado.

Resposta

y(t)=6\,t\,e^{-t}\,u(t)

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