Encontre a resposta ao estado nulo
dos sistemas LTIC (linear, time-invariant, continuous-time) abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a resposta ao estado nulo
de um sistema LTIC quando a função de impulso (resposta ao impulso) e a entrada são:
Pergunta direta: calcular
, que é a saída do sistema considerando condições iniciais nulas (ou seja, apenas o efeito da entrada).
Informações relevantes dadas:
- As duas funções são multiplicadas pela função degrau unitário
, logo são causais (valem zero para ). - Os expoentes nas exponenciais são iguais (ambas com decaimento
). - O sistema é linear e invariável no tempo, então a resposta ao estado nulo é dada pela convolução entre
e .
Passo 2
Conceito essencial (aqui aprendo o que vou aplicar): para um sistema LTIC, a resposta ao estado nulo é a convolução entre
e
. A definição da convolução contínua é
Explicando os termos:
-
é a resposta ao impulso avaliada na variável de integração . -
é a entrada deslocada. - O integrando é produto das duas funções; a integral soma as contribuições de todos os instantes
. - Como
e são multiplicadas por (são causais), isso simplifica os limites de integração: só há contribuição quando ambas as funções são não nulas.
Passo 3
Substituo
e
na integral de convolução:
Logo o integrando é
Faço a simplificação das exponenciais:
pois os termos
e
(do
) se cancelam no expoente. Assim o integrando fica
Passo 4
Agora determinar os limites de integração usando as funções degrau:
-
para e para . -
quando e quando .
Para que o produto
seja 1 é necessário que
satisfaça
. Portanto:
- Se
, não existe que satisfaça ; a integral é nula. - Se
, a integral corre sobre de até .
Por isso a convolução reduz-se, para
, a
Passo 5
Avalio a integral (faça isso na prova: fatorar constantes que não dependem de
):
Como para
a saída é zero (devido à causalidade), posso escrever de forma compacta incluindo o degrau unitário:
Passo 6
Checagem alternativa (útil para aprender outra técnica): via transformada de Laplace — já que
e
. Pela propriedade da convolução,
A transformada inversa de
é
, logo
, confirmando o resultado.