Demonstre que:
e^{-2 t} u(t) *\left(1-e^{-t}\right) u(t)=\left(\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2} e^{-2 t}\right) u(t)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que a convolução entre as duas funções causais abaixo é igual à expressão dada. As funções fornecidas são:
  • f(t)=e^{-2 t}u(t),
  • g(t)=\bigl(1-e^{-t}\bigr)u(t).
A convensão usada é a usual de sinais no tempo com u(t) sendo a função degrau unitário. O objetivo é calcular
(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau
e mostrar que o resultado é
\left(\tfrac{1}{2}-e^{-t}+\tfrac{1}{2}e^{-2t}\right)u(t).

Passo 2

Relembrando a definição e o efeito do degrau: a convolução de duas funções é
(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Como f(\tau) e g(t-\tau) contêm fatores u(\tau) e u(t-\tau), os integrandos são não nulos somente quando \tau\ge 0 e t-\tau\ge 0. Essas duas condições juntas implicam 0\le \tau\le t. Assim:
  • Se t<0, o intervalo [0,t] é vazio, logo (f*g)(t)=0.
  • Se t\ge 0, a integral efetiva é de \tau=0 até \tau=t.
Portanto podemos escrever, para t\ge 0,
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} e^{-2\tau}\bigl(1-e^{-(t-\tau)}\bigr)\,d\tau.

Passo 3

Simplifico o integrando antes de integrar. Note que
e^{-(t-\tau)}=e^{-t}e^{\tau},
então
e^{-2\tau}\bigl(1-e^{-(t-\tau)}\bigr)=e^{-2\tau}-e^{-2\tau}\,e^{-t}e^{\tau} = e^{-2\tau}-e^{-t}e^{-\tau}.
Logo, para t\ge 0,
(f*g)(t)=\int_{0}^{t}\bigl(e^{-2\tau}-e^{-t}e^{-\tau}\bigr)\,d\tau.

Passo 4

Integro termo a termo.
Primeiro termo:
\int_{0}^{t} e^{-2\tau}\,d\tau =\left[-\tfrac{1}{2}e^{-2\tau}\right]_{0}^{t} =\tfrac{1}{2}\bigl(1-e^{-2t}\bigr).
Segundo termo (note que e^{-t} é constante em \tau):
\int_{0}^{t} e^{-t}e^{-\tau}\,d\tau = e^{-t}\int_{0}^{t} e^{-\tau}\,d\tau = e^{-t}\left[-e^{-\tau}\right]_{0}^{t} = e^{-t}\bigl(1-e^{-t}\bigr).
Portanto, para t\ge 0,
(f*g)(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(1-e^{-2t}\bigr)-e^{-t}\bigl(1-e^{-t}\bigr).

Passo 5

Faço a simplificação algébrica final:
Começo expandindo ambos os termos:
\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}e^{-2t}-\bigl(e^{-t}-e^{-2t}\bigr) =\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}e^{-2t}-e^{-t}+e^{-2t}.
Agrupando os termos em e^{-2t}:
-\tfrac{1}{2}e^{-2t}+e^{-2t}=\tfrac{1}{2}e^{-2t}.
Logo
(f*g)(t)=\tfrac{1}{2}-e^{-t}+\tfrac{1}{2}e^{-2t},
para t\ge 0. Juntando com o fato de que (f*g)(t)=0 para t<0, introduzimos o fator u(t) para indicar causalidade:
(f*g)(t)=\left(\tfrac{1}{2}-e^{-t}+\tfrac{1}{2}e^{-2t}\right)u(t).

Resposta

\left(\tfrac{1}{2}-e^{-t}+\tfrac{1}{2}e^{-2t}\right)u(t)

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