Demonstre que:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que a convolução entre as duas funções causais abaixo é igual à expressão dada. As funções fornecidas são:
-
, -
.
A convensão usada é a usual de sinais no tempo com
sendo a função degrau unitário. O objetivo é calcular
e mostrar que o resultado é
Passo 2
Relembrando a definição e o efeito do degrau: a convolução de duas funções é
Como
e
contêm fatores
e
, os integrandos são não nulos somente quando
e
. Essas duas condições juntas implicam
. Assim:
- Se
, o intervalo é vazio, logo . - Se
, a integral efetiva é de até .
Portanto podemos escrever, para
,
Passo 3
Simplifico o integrando antes de integrar. Note que
então
Logo, para
,
Passo 4
Integro termo a termo.
Primeiro termo:
Segundo termo (note que
é constante em
):
Portanto, para
,
Passo 5
Faço a simplificação algébrica final:
Começo expandindo ambos os termos:
Agrupando os termos em
:
Logo
para
. Juntando com o fato de que
para
, introduzimos o fator
para indicar causalidade: