Suponha que a v.a X sim Gama(1 / gamma, 1 / gamma) com gamma>0 e Y mid X=x sim Poisson(x theta) onde theta>0.
(a) Determine: E(Y), Var(X) e rho(X, Y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição Gama com parâmetros $ \frac{1}{\gamma} $ e $ \frac{1}{\gamma} $, ou seja, $ X \sim \operatorname{Gama}\left(\frac{1}{\gamma}, \frac{1}{\gamma}\right) $. Além disso, temos que $ Y $ dado $ X = x $ segue uma distribuição Poisson com parâmetro $ x\theta $, ou seja, $ Y \mid X = x \sim \operatorname{Poisson}(x\theta) $.
Nosso objetivo é determinar:
  1. $ E(Y) $ – o valor esperado de $ Y $.
  2. $ \operatorname{Var}(X) $ – a variância de $ X $.
  3. $ \rho(X, Y) $ – o coeficiente de correlação entre $ X $ e $ Y $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar $ E(Y) $. Para isso, usamos a propriedade da esperança condicional:
E(Y)
Sabemos que $ Y \mid X = x \sim \operatorname{Poisson}(x\theta) $, então:
E(Y) = E[E(Y mid X)]
Portanto:
Y mid X = x sim Poisson(xtheta)
Agora precisamos encontrar $ E(X) $.

Passo 3

A distribuição Gama tem dois parâmetros: forma $ \alpha $ e taxa $ \beta $. A esperança de $ X $ é dada por:
alpha
No nosso caso, $ \alpha = \frac{1}{\gamma} $ e $ \beta = \frac{1}{\gamma} $. Então:
beta
Então, voltando a $ E(Y) $:
X

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância de $ X $, $ \operatorname{Var}(X) $. A variância de uma variável Gama é dada por:
X
Substituindo os valores:
Var(X)

Passo 5

Agora, vamos determinar o coeficiente de correlação $ \rho(X, Y) $. Primeiro, precisamos calcular a covariância $ \operatorname{Cov}(X, Y) $.
Sabemos que:
rho(X, Y)
Mas também podemos usar a propriedade da esperança condicional:
Cov(X, Y)
Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
Então:
E(Y mid X) = theta X
Agora, precisamos da variância de $ Y $. A variância de $ Y $ pode ser encontrada usando:
Cov(X, Y) = Cov(X, theta X) = theta Var(X)
Sabemos que:
Cov(X, Y) = theta gamma
Y
Então:
Y
Var(Y) = E[Var(Y mid X)] + Var(E(Y mid X))
Portanto:
Var(Y mid X) = theta X
Finalmente, o coeficiente de correlação é:
E(Y mid X) = theta X
Simplificando:

Resposta

  • $ E(Y) = \theta $
  • $ \operatorname{Var}(X) = \gamma $
  • $ \rho(X, Y) = \frac{\sqrt{\gamma}}{\sqrt{1 + \theta \gamma}} $

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