Suponha que a v.a
com
e
onde
.
(a) Determine:
e
.
(a) Determine:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição Gama com parâmetros $ \frac{1}{\gamma} $ e $ \frac{1}{\gamma} $, ou seja, $ X \sim \operatorname{Gama}\left(\frac{1}{\gamma}, \frac{1}{\gamma}\right) $. Além disso, temos que $ Y $ dado $ X = x $ segue uma distribuição Poisson com parâmetro $ x\theta $, ou seja, $ Y \mid X = x \sim \operatorname{Poisson}(x\theta) $.
Nosso objetivo é determinar:
- $ E(Y) $ – o valor esperado de $ Y $.
- $ \operatorname{Var}(X) $ – a variância de $ X $.
- $ \rho(X, Y) $ – o coeficiente de correlação entre $ X $ e $ Y $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar $ E(Y) $. Para isso, usamos a propriedade da esperança condicional:
Sabemos que $ Y \mid X = x \sim \operatorname{Poisson}(x\theta) $, então:
Portanto:
Agora precisamos encontrar $ E(X) $.
Passo 3
A distribuição Gama tem dois parâmetros: forma $ \alpha $ e taxa $ \beta $. A esperança de $ X $ é dada por:
No nosso caso, $ \alpha = \frac{1}{\gamma} $ e $ \beta = \frac{1}{\gamma} $. Então:
Então, voltando a $ E(Y) $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância de $ X $, $ \operatorname{Var}(X) $. A variância de uma variável Gama é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos determinar o coeficiente de correlação $ \rho(X, Y) $. Primeiro, precisamos calcular a covariância $ \operatorname{Cov}(X, Y) $.
Sabemos que:
Mas também podemos usar a propriedade da esperança condicional:
Então:
Agora, precisamos da variância de $ Y $. A variância de $ Y $ pode ser encontrada usando:
Sabemos que:
Então:
Portanto:
Finalmente, o coeficiente de correlação é:
Simplificando:
Resposta
- $ E(Y) = \theta $
- $ \operatorname{Var}(X) = \gamma $
- $ \rho(X, Y) = \frac{\sqrt{\gamma}}{\sqrt{1 + \theta \gamma}} $