Sejam X1, ldots, Xn variáveis com Xn sim Gama(n, beta), n >= 1. Verifique que 1n Xn xrightarrowp c, para alguma constante c e obtenha seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma sequência de variáveis aleatórias $ X_{1}, ···, X_{n} $ onde $ X_{n} $ segue uma distribuição Gama com parâmetros $ n $ e $ \beta $, ou seja, $ X_{n} \sim \operatorname{Gama}(n, \beta) $. O que precisamos fazer é verificar se a expressão $ \frac{1}{n} X_{n} $ converge em probabilidade para uma constante $ c $ quando $ n $ tende ao infinito, e descobrir qual é esse valor de $ c $.
Vamos usar conceitos de teoria das probabilidades, especificamente sobre convergência de variáveis aleatórias e propriedades da distribuição Gama, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa convergência em probabilidade. Dizemos que uma sequência de variáveis aleatórias $ Y_n $ converge em probabilidade para $ c $ se, para qualquer $ \epsilon > 0 $, a probabilidade de $ Y_n $ estar fora de um intervalo $ \epsilon $ ao redor de $ c $ tende a zero quando $ n $ cresce. Formalmente:
Yn
No nosso caso, $ Y_n = \frac{1}{n} X_n $, e queremos encontrar $ c $ tal que essa condição seja satisfeita.

Passo 3

Vamos calcular a média ($ \mathbb{E} E â \operatorname{Var} $) de $ X_n $. Para uma variável Gama com parâmetros $ \alpha $ (forma) e $ \beta $ (taxa), temos:
Var
No nosso caso, $ \alpha = n $, então:
Xn
Agora, vamos considerar $ Y_n = \frac{1}{n} X_n $. Então:
alpha
E a variância:
beta

Passo 4

Observamos que à medida que $ n $ aumenta, a variância de $ Y_n $ diminui, já que $ \frac{1}{n \beta^2} $ tende a zero quando $ n $ vai para o infinito. Isso significa que $ Y_n $ está ficando cada vez mais concentrado ao redor de sua média, que calculamos ser $ \frac{1}{\beta} $.
De acordo com a Lei Fraca dos Grandes Números, se a variância de uma sequência de variáveis aleatórias tende a zero e a média converge para algum valor, então a sequência converge em probabilidade para esse valor.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso, como a média de $ Y_n $ é $ \frac{1}{\beta} $ e a variância tende a zero conforme $ n $ cresce, concluímos que:
Yn

Resposta

A constante $ c $ é igual a $ \frac{1}{\beta} $.

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