Seja Xn: n >= 1 uma sequência de variáveis aleatórias tal que Xn sim Exp(1 / 2). Defina Yn=barXn=sumi=1^n Xin e Wn=Yn^2.
(b) Mostre que Wn xrightarrowP 4.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência de variáveis aleatórias $ X_n $ que seguem uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = \frac{1}{2} $, ou seja, $ X_n \sim Exp\left(\frac{1}{2}\right) $. A gente definiu duas novas variáveis:
  • $ Y_n = \bar{X}n = \frac{1}{n} \sum{i=1}^{n} X_i $ que é a média das primeiras $ n $ variáveis $ X_i $.
  • $ W_n = Y_n^2 $ que é o quadrado dessa média.
A parte (b) da questão quer que a gente mostre que $ W_n $ converge em probabilidade para 4. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Lei dos Grandes Números e convergência em probabilidade. Basicamente, a Lei dos Grandes Números nos diz que a média das variáveis aleatórias tende para o valor esperado quando $ n $ cresce. Vamos usar isso para encontrar o limite de $ Y_n $ e, a partir daí, de $ W_n $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma variável aleatória que segue uma distribuição exponencial $ Exp(\lambda) $, o valor esperado $ E(X) $ é $ \frac{1}{\lambda} $. No nosso caso, $ \lambda = \frac{1}{2} $, então:
Exp(lambda)
Isso significa que cada uma das variáveis $ X_n $ tem média 2.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei dos Grandes Números, que afirma que a média das variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) converge em probabilidade para o valor esperado à medida que $ n $ aumenta. Matemáticamente, isso é representado por:
n
Então, a média $ Y_n $ converge em probabilidade para 2.

Passo 4

Agora que sabemos que $ Y_n $ está convergindo para 2, queremos entender o que acontece com $ W_n = Y_n^2 $. Para isso, usamos o Teorema da Continuidade, que basicamente diz que se uma sequência de variáveis $ Y_n $ converge em probabilidade para $ Y $, então qualquer função contínua de $ Y_n $ também converge em probabilidade para a função aplicada a $ Y $.
No nosso caso, a função é $ f(y) = y^2 $, que é contínua. Então:
Yn

Resposta

Portanto, $ W_n $ converge em probabilidade para 4.

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