Seja
uma variável aleatória com variância finita e tal que
e
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória $ X $ que tem uma média ($ E[X] $) de 10 e algumas probabilidades específicas relacionadas a $ X
\operatorname{Var}(X) $) é pelo menos $ \frac{9}{2} $. Para isso, vamos precisar entender o que é média, variância e como essas probabilidades nos ajudam a calcular a variância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a variância. A variância ($ \operatorname{Var}(X) $) mede o quanto os valores de $ X $ estão espalhados em torno da média. A fórmula da variância é:
Isso significa que a variância é a média dos quadrados das diferenças entre cada valor de $ X $ e a média $ E[X] $.
Passo 3
Agora, vamos usar as probabilidades que foram dadas no problema. Sabemos que:
- $ P(X \leq 7) = 0,2 $: 20% das vezes, $ X $ é menor ou igual a 7.
- $ P(X \geq 13) = 0,3 $: 30% das vezes, $ X $ é maior ou igual a 13.
Isso também nos diz que 50% das vezes, $ X $ está entre 7 e 13.
Passo 4
Vamos calcular a variância considerando essas probabilidades. Para simplificar, vamos considerar as diferenças entre os valores de $ X $ e a média 10:
- Quando $ X \leq 7 $, a diferença é $ 10 - 7 = 3 $.
- Quando $ X \geq 13 $, a diferença é $ 13 - 10 = 3 $.
Como estamos trabalhando com quadrados dessas diferenças, tanto acima quanto abaixo da média, o quadrado será $ 3^2 = 9 $.
Passo 5
Agora, multiplicamos esses quadrados pelas probabilidades correspondentes para obter uma parte da variância:
Substituindo os valores:
Resposta
Portanto, mostramos que a variância de $ X $ é pelo menos $ \frac{9}{2} $ ou seja, $ \operatorname{Var}(X) \geq \frac{9}{2} $.