Seja X uma variável aleatória com variância finita e tal que E[X]=10, P(X <= 7)=0,2 e P(X >= 13)=0,3. Mostre que Var(X) >= 92.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória $ X $ que tem uma média ($ E[X] $) de 10 e algumas probabilidades específicas relacionadas a $ X X éâá \operatorname{Var}(X) $) é pelo menos $ \frac{9}{2} $. Para isso, vamos precisar entender o que é média, variância e como essas probabilidades nos ajudam a calcular a variância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a variância. A variância ($ \operatorname{Var}(X) $) mede o quanto os valores de $ X $ estão espalhados em torno da média. A fórmula da variância é:
Var(X)
Isso significa que a variância é a média dos quadrados das diferenças entre cada valor de $ X $ e a média $ E[X] $.

Passo 3

Agora, vamos usar as probabilidades que foram dadas no problema. Sabemos que:
  • $ P(X \leq 7) = 0,2 $: 20% das vezes, $ X $ é menor ou igual a 7.
  • $ P(X \geq 13) = 0,3 $: 30% das vezes, $ X $ é maior ou igual a 13.
Isso também nos diz que 50% das vezes, $ X $ está entre 7 e 13.

Passo 4

Vamos calcular a variância considerando essas probabilidades. Para simplificar, vamos considerar as diferenças entre os valores de $ X $ e a média 10:
  • Quando $ X \leq 7 $, a diferença é $ 10 - 7 = 3 $.
  • Quando $ X \geq 13 $, a diferença é $ 13 - 10 = 3 $.
Como estamos trabalhando com quadrados dessas diferenças, tanto acima quanto abaixo da média, o quadrado será $ 3^2 = 9 $.

Passo 5

Agora, multiplicamos esses quadrados pelas probabilidades correspondentes para obter uma parte da variância:
Var(X) >= P(X <= 7) times 9 + P(X >= 13) times 9
Substituindo os valores:
Var(X) >= 0,2 times 9 + 0,3 times 9 = 1,8 + 2,7 = 4,5

Resposta

Portanto, mostramos que a variância de $ X $ é pelo menos $ \frac{9}{2} $ ou seja, $ \operatorname{Var}(X) \geq \frac{9}{2} $.

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