Sejam
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & -2 & 3 \\\\ 0 & -5 & 4 \\\\ 4 & -3 & 8 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 4 \\\\ 3 & 7 \end{array}\right) \text { e } C=\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right) .
Se possível, calcule os seguintes produtos:
A^{2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \,A^2, isto é, o produto da matriz A por ela mesma. O conteúdo é multiplicação de matrizes quadradas de ordem 3, usando a regra
(A^2)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{3}A_{ik}\,A_{kj}\,.

Passo 2

Aplicamos a definição para obter os elementos da primeira e da segunda linha de A^2:
Para a linha 1:
\begin{aligned} (A^2)_{11}&=1\cdot1+(-2)\cdot0+3\cdot4=1+0+12=13,\\\ (A^2)_{12}&=1\cdot(-2)+(-2)\cdot(-5)+3\cdot(-3)=-2+10-9=-1,\\\ (A^2)_{13}&=1\cdot3+(-2)\cdot4+3\cdot8=3-8+24=19. \end{aligned}
Para a linha 2:
\begin{aligned} (A^2)_{21}&=0\cdot1+(-5)\cdot0+4\cdot4=0+0+16=16,\\\ (A^2)_{22}&=0\cdot(-2)+(-5)\cdot(-5)+4\cdot(-3)=0+25-12=13,\\\ (A^2)_{23}&=0\cdot3+(-5)\cdot4+4\cdot8=0-20+32=12. \end{aligned}

Passo 3

Agora calculamos os elementos da terceira linha:
\begin{aligned} (A^2)_{31}&=4\cdot1+(-3)\cdot0+8\cdot4=4+0+32=36,\\\ (A^2)_{32}&=4\cdot(-2)+(-3)\cdot(-5)+8\cdot(-3)=-8+15-24=-17,\\\ (A^2)_{33}&=4\cdot3+(-3)\cdot4+8\cdot8=12-12+64=64. \end{aligned}

Passo 4

Reunindo todos os elementos, obtemos
A^2 = \begin{pmatrix} 13 & -1 & 19\\\\ 16 & 13 & 12\\\\ 36 & -17 & 64 \end{pmatrix}.

Resposta

A^2 = \begin{pmatrix} 13 & -1 & 19\\\\ 16 & 13 & 12\\\\ 36 & -17 & 64 \end{pmatrix}.

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