Sejam S=\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1\end{array}\right]\right\}, T=\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 3\end{array}\right]\right\} bases ordenadas de \mathbb{R}^{2}. Sejam \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 5\end{array}\right] e \mathbf{w}=\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 4\end{array}\right].
(a) Encontre os vetores de coordenadas de \mathbf{v} e w em relação à base T.
(b) Qual é a matriz de mudança P_{S T} da base T para a base S ?
(c) Use P_{S T} para encontrar os vetores \mathbf{v} ew em relação à base S.
(d) Encontre os vetores de coordenadas de \mathbf{v} e w em relação à base S diretamente.
(e) Encontre a matriz de mudança P_{T S} da base S para a base T.
(f) Use P_{T S} para encontrar os vetores \mathbf{v} e \mathbf{w} em relação à base T e compare com as respostas de a).

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas de \mathbb{R}^2 e dois vetores e pede várias coisas sobre coordenadas e matrizes de mudança. Vou listar com calma o que foi dado e o que é pedido:
Dados:
S=\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\[2pt] 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\[2pt] 1\end{array}\right]\right\},\qquad T=\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\[2pt] 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\[2pt] 3\end{array}\right]\right\},
\mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}1 \\[2pt] 5\end{array}\right],\qquad \mathbf{w}=\left[\begin{array}{l}5 \\[2pt] 4\end{array}\right].
Perguntas (separadas):
(a) Encontre [\mathbf{v}]_T e [\mathbf{w}]_T (coordenadas em relação à base T).
(b) Encontre a matriz de mudança P_{ST} da base T para a base S (ou seja, tal que [\mathbf{x}]_S = P_{ST} [\mathbf{x}]_T).
(c) Use P_{ST} para encontrar [\mathbf{v}]_S e [\mathbf{w}]_S.
(d) Encontre [\mathbf{v}]_S e [\mathbf{w}]_S diretamente (sem usar P_{ST}).
(e) Encontre a matriz de mudança P_{TS} da base S para a base T.
(f) Use P_{TS} para encontrar [\mathbf{v}]_T e [\mathbf{w}]_T e compare com (a).
Agora que está tudo claro sobre o que pedem e o que foi dado, eu começo a resolver passo a passo.]

Passo 2

Como encontrar coordenadas de um vetor em relação a uma base (a ideia geral): se B=\{b_1,b_2\}\) é uma base de \(\mathbb{R}^2\) e \(x\) é um vetor, então \([x]_B=(\alpha,\beta)^\top\) é o par de escalares que satisfaz \[\alpha b_1+\beta b_2 = x.
Isso gera um sistema linear de duas equações com duas incógnitas \alpha,\beta. Vou aplicar isso para encontrar [\mathbf{v}]_T.
Base T: t_1=\left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right],\; t_2=\left[\begin{smallmatrix}2\\[2pt]3\end{smallmatrix}\right].
Queremos \alpha,\beta tais que
\alpha\left[\begin{array}{l}1\\[2pt]1\end{array}\right]+\beta\left[\begin{array}{l}2\\[2pt]3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}1\\[2pt]5\end{array}\right].
Escrevendo componente a componente:
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 1,\\[4pt] \alpha + 3\beta = 5. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda obtemos \beta = 4\]. Substituindo em \(\alpha + 2\beta =1 \alpha = 1 - 2\cdot 4 = -7. Portanto
[\mathbf{v}]_T = \left[\begin{array}{r}-7\\[2pt]4\end{array}\right].]

Passo 3

Agora faço o mesmo para \mathbf{w}\) em relação a \(T\). Queremos \(\gamma,\delta\) tais que \[\gamma\left[\begin{array}{l}1\\[2pt]1\end{array}\right]+\delta\left[\begin{array}{l}2\\[2pt]3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}5\\[2pt]4\end{array}\right].
Componentes:
\begin{cases} \gamma + 2\delta = 5,\\[4pt] \gamma + 3\delta = 4. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda: \delta = -1\]. Substituindo em \(\gamma + 2\delta =5 \gamma = 5 - 2(-1) = 7. Assim
[\mathbf{w}]_T = \left[\begin{array}{r}7\\[2pt]-1\end{array}\right].
(Com isso concluí a letra (a): [\mathbf{v}]_T e [\mathbf{w}]_T.)]

Passo 4

Agora a letra (b): o que é a matriz de mudança P_{ST}\) da base \(T\) para a base \(S\)? Explicação didática: por definição \(P_{ST}\) é a matriz tal que, para qualquer vetor \(\mathbf{x}\), \[[\mathbf{x}]_S = P_{ST} \,[\mathbf{x}]_T.
Uma forma prática de construir P_{ST} é escrever cada vetor da base T como combinação linear dos vetores da base S. As coordenadas desses vetores (em relação a S) são as colunas de P_{ST}.
Base S: s_1=\left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]2\end{smallmatrix}\right],\; s_2=\left[\begin{smallmatrix}0\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right].
Vou expressar t_1=\left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right] como \alpha s_1+\beta s_2. Isso dá
\alpha\left[\begin{array}{l}1\\[2pt]2\end{array}\right]+\beta\left[\begin{array}{l}0\\[2pt]1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}1\\[2pt]1\end{array}\right].
Componentes:
\begin{cases} \alpha = 1,\\[4pt] 2\alpha + \beta = 1. \end{cases}
Daí \alpha=1\] e \[\beta = 1 - 2\cdot1 = -1. Logo as coordenadas de t_1 em S são \left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]-1\end{smallmatrix}\right].
Agora t_2=\left[\begin{smallmatrix}2\\[2pt]3\end{smallmatrix}\right] como \alpha s_1+\beta s_2:
\begin{cases} \alpha = 2,\\[4pt] 2\alpha + \beta = 3, \end{cases}
portanto \alpha=2\] e \(\beta = 3 - 2\cdot2 = -1. Coordenadas de t_2 em S são \left[\begin{smallmatrix}2\\[2pt]-1\end{smallmatrix}\right].
As colunas de P_{ST} são essas coordenadas, na ordem dos vetores de T. Assim
P_{ST} = \left[\begin{array}{rr}1 & 2\\[4pt]-1 & -1\end{array}\right].]

Passo 5

Letra (c): usar P_{ST} para obter [\mathbf{v}]_S e [\mathbf{w}]_S. Já temos [\mathbf{v}]_T e [\mathbf{w}]_T do Passo 2 e 3, e P_{ST} do Passo 4. Basta multiplicar matrizes:
Para \mathbf{v}:
[\mathbf{v}]_S = P_{ST}\,[\mathbf{v}]_T = \left[\begin{array}{rr}1 & 2\\[4pt]-1 & -1\end{array}\right] \left[\begin{array}{r}-7\\[2pt]4\end{array}\right].
Faço a multiplicação componente a componente:
\text{primeira componente} = 1\cdot(-7) + 2\cdot 4 = -7 + 8 = 1,
\text{segunda componente} = -1\cdot(-7) + (-1)\cdot 4 = 7 - 4 = 3.
Logo
[\mathbf{v}]_S = \left[\begin{array}{r}1\\[2pt]3\end{array}\right].
Para \mathbf{w}:
[\mathbf{w}]_S = P_{ST}\,[\mathbf{w}]_T = \left[\begin{array}{rr}1 & 2\\[4pt]-1 & -1\end{array}\right] \left[\begin{array}{r}7\\[2pt]-1\end{array}\right].
Multiplicando:
\text{primeira componente} = 1\cdot 7 + 2\cdot(-1) = 7 - 2 = 5,
\text{segunda componente} = -1\cdot 7 + (-1)\cdot(-1) = -7 +1 = -6.
Portanto
[\mathbf{w}]_S = \left[\begin{array}{r}5\\[2pt]-6\end{array}\right].]

Passo 6

Letra (d): encontrar [[\mathbf{v}]_S) e [\mathbf{w}]_S diretamente, sem usar P_{ST}. A ideia é a mesma do começo: escrever cada vetor como combinação dos vetores de S.
Para \mathbf{v}=\left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]5\end{smallmatrix}\right], queremos c,d com
c\left[\begin{array}{l}1\\[2pt]2\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{l}0\\[2pt]1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}1\\[2pt]5\end{array}\right].
Componentes:
\begin{cases} c = 1,\\[4pt] 2c + d = 5. \end{cases}
Daí c=1\] e \[d = 5 - 2\cdot1 = 3. Então
[\mathbf{v}]_S = \left[\begin{array}{r}1\\[2pt]3\end{array}\right],
o mesmo que obtivemos usando P_{ST}.
Para \mathbf{w}=\left[\begin{smallmatrix}5\\[2pt]4\end{smallmatrix}\right]:
\begin{cases} c = 5,\\[4pt] 2c + d = 4, \end{cases}
logo c=5\] e \(d = 4 - 2\cdot5 = -6. Assim
[\mathbf{w}]_S = \left[\begin{array}{r}5\\[2pt]-6\end{array}\right],
igual ao resultado do Passo 5.]

Passo 7

Letra (e) e (f): encontrar P_{TS} (a matriz de mudança da base S para T) e usar para recuperar [\mathbf{v}]_T e [\mathbf{w}]_T.
Observação teórica útil: P_{TS} é a inversa de P_{ST}, pois compor mudança de coordenadas de T para S seguida de S para T dá a identidade. Ou seja
P_{TS} = (P_{ST})^{-1}.
Já temos
P_{ST} = \left[\begin{array}{rr}1 & 2\\[4pt]-1 & -1\end{array}\right].
Calculo a inversa de uma 2\times2: para \begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix}, a inversa (se existir) é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[2pt]-c & a\end{pmatrix}. Aqui a=1,b=2,c=-1,d=-1. O determinante é
ad-bc = 1\cdot(-1) - 2\cdot(-1) = -1 + 2 = 1.
Como o determinante é 1, a inversa existe e é
P_{TS} = (P_{ST})^{-1} = \left[\begin{array}{rr}-1 & -2\\[4pt]1 & 1\end{array}\right].
Agora aplico P_{TS} às coordenadas em S que já tínhamos (obtidas no Passo 5) para recuperar as coordenadas em T.
Para \mathbf{v}:
[\mathbf{v}]_T = P_{TS}\,[\mathbf{v}]_S = \left[\begin{array}{rr}-1 & -2\\[4pt]1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{r}1\\[2pt]3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}-1\cdot1 + -2\cdot3\\[6pt]1\cdot1 + 1\cdot3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}-1 -6\\[2pt]1+3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}-7\\[2pt]4\end{array}\right].
Para \mathbf{w}:
[\mathbf{w}]_T = P_{TS}\,[\mathbf{w}]_S = \left[\begin{array}{rr}-1 & -2\\[4pt]1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{r}5\\[2pt]-6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}-1\cdot5 + -2\cdot(-6)\\[6pt]1\cdot5 + 1\cdot(-6)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}-5 +12\\[2pt]5-6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}7\\[2pt]-1\end{array}\right].
Esses resultados coincidem exatamente com os de (a), como deve acontecer.]

Resposta

(a) [\mathbf{v}]_T = \left[\begin{array}{r}-7\\[2pt]4\end{array}\right],\; [\mathbf{w}]_T = \left[\begin{array}{r}7\\[2pt]-1\end{array}\right]
(b) P_{ST} = \left[\begin{array}{rr}1 & 2\\[4pt]-1 & -1\end{array}\right]
(c) [\mathbf{v}]_S = \left[\begin{array}{r}1\\[2pt]3\end{array}\right],\; [\mathbf{w}]_S = \left[\begin{array}{r}5\\[2pt]-6\end{array}\right]
(d) [\mathbf{v}]_S = \left[\begin{array}{r}1\\[2pt]3\end{array}\right],\; [\mathbf{w}]_S = \left[\begin{array}{r}5\\[2pt]-6\end{array}\right]
(e) P_{TS} = \left[\begin{array}{rr}-1 & -2\\[4pt]1 & 1\end{array}\right]
(f) Usando P_{TS}: [\mathbf{v}]_T = \left[\begin{array}{r}-7\\[2pt]4\end{array}\right],\; [\mathbf{w}]_T = \left[\begin{array}{r}7\\[2pt]-1\end{array}\right] (confere com (a)).]

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