Sejam S=\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1\end{array}\right]\right\}, T=\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 3\end{array}\right]\right\} bases ordenadas de \mathbb{R}^{2}. Sejam \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 5\end{array}\right] e \mathbf{w}=\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 4\end{array}\right].
(a) Encontre os vetores de coordenadas de \mathbf{v} e w em relação à base T.
(b) Qual é a matriz de mudança P_{S T} da base T para a base S ?
(c) Use P_{S T} para encontrar os vetores \mathbf{v} ew em relação à base S.
(d) Encontre os vetores de coordenadas de \mathbf{v} e w em relação à base S diretamente.
(e) Encontre a matriz de mudança P_{T S} da base S para a base T.
(f) Use P_{T S} para encontrar os vetores \mathbf{v} e \mathbf{w} em relação à base T e compare com as respostas de a).
Passo 1
O enunciado dá duas bases ordenadas de \mathbb{R}^2 e dois vetores e pede várias coisas sobre coordenadas e matrizes de mudança. Vou listar com calma o que foi dado e o que é pedido:
Perguntas (separadas):
(a) Encontre [\mathbf{v}]_T e [\mathbf{w}]_T (coordenadas em relação à base T).
(b) Encontre a matriz de mudança P_{ST} da base T para a base S (ou seja, tal que [\mathbf{x}]_S = P_{ST} [\mathbf{x}]_T).
(c) Use P_{ST} para encontrar [\mathbf{v}]_S e [\mathbf{w}]_S.
(d) Encontre [\mathbf{v}]_S e [\mathbf{w}]_S diretamente (sem usar P_{ST}).
(e) Encontre a matriz de mudança P_{TS} da base S para a base T.
(f) Use P_{TS} para encontrar [\mathbf{v}]_T e [\mathbf{w}]_T e compare com (a).
Agora que está tudo claro sobre o que pedem e o que foi dado, eu começo a resolver passo a passo.]
Passo 2
Como encontrar coordenadas de um vetor em relação a uma base (a ideia geral): se B=\{b_1,b_2\}\) é uma base de \(\mathbb{R}^2\) e \(x\) é um vetor, então \([x]_B=(\alpha,\beta)^\top\) é o par de escalares que satisfaz
\[\alpha b_1+\beta b_2 = x.
Isso gera um sistema linear de duas equações com duas incógnitas \alpha,\beta. Vou aplicar isso para encontrar [\mathbf{v}]_T.
Base T: t_1=\left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right],\; t_2=\left[\begin{smallmatrix}2\\[2pt]3\end{smallmatrix}\right].
Queremos \alpha,\beta tais que
Agora faço o mesmo para \mathbf{w}\) em relação a \(T\). Queremos \(\gamma,\delta\) tais que
\[\gamma\left[\begin{array}{l}1\\[2pt]1\end{array}\right]+\delta\left[\begin{array}{l}2\\[2pt]3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}5\\[2pt]4\end{array}\right].
(Com isso concluí a letra (a): [\mathbf{v}]_T e [\mathbf{w}]_T.)]
Passo 4
Agora a letra (b): o que é a matriz de mudança P_{ST}\) da base \(T\) para a base \(S\)? Explicação didática: por definição \(P_{ST}\) é a matriz tal que, para qualquer vetor \(\mathbf{x}\),
\[[\mathbf{x}]_S = P_{ST} \,[\mathbf{x}]_T.
Uma forma prática de construir P_{ST} é escrever cada vetor da base T como combinação linear dos vetores da base S. As coordenadas desses vetores (em relação a S) são as colunas de P_{ST}.
Base S: s_1=\left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]2\end{smallmatrix}\right],\; s_2=\left[\begin{smallmatrix}0\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right].
Vou expressar t_1=\left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right] como \alpha s_1+\beta s_2. Isso dá
Letra (c): usar P_{ST} para obter [\mathbf{v}]_S e [\mathbf{w}]_S. Já temos [\mathbf{v}]_T e [\mathbf{w}]_T do Passo 2 e 3, e P_{ST} do Passo 4. Basta multiplicar matrizes:
Letra (d): encontrar [[\mathbf{v}]_S) e [\mathbf{w}]_S diretamente, sem usar P_{ST}. A ideia é a mesma do começo: escrever cada vetor como combinação dos vetores de S.
Para \mathbf{v}=\left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]5\end{smallmatrix}\right], queremos c,d com
Calculo a inversa de uma 2\times2: para \begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix}, a inversa (se existir) é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[2pt]-c & a\end{pmatrix}. Aqui a=1,b=2,c=-1,d=-1. O determinante é