O que se pede: calcular o vetor \mathbf{v} na base canônica de P_{2}. Vou usar como base canônica a ordenação usual
E=\{\,1,\;t,\;t^{2}\,\},
ou seja queremos encontrar [\mathbf{v}]_{E} (as coordenadas em relação a E) ou o polinômio \mathbf{v}(t) escrito na forma a+bt+ct^{2}.
Passo 2
Conceito importante (explicadinho): quando me dizem que [\mathbf{v}]_{S}=\begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix}, isso significa que \mathbf{v} é a combinação linear dos vetores da base S com esses coeficientes. Em fórmulas:
Cada coeficiente multiplica o vetor (aqui polinômio) correspondente da base S. Para passar para a base canônica E=\{1,t,t^{2}\} basta desenvolver essa combinação e agrupar os termos em potências de t (constante, t, t^{2}). Outra maneira equivalente e sistemática é montar a matriz de mudança de base P cujas colunas são as coordenadas dos vetores de S na base E e multiplicar P por [\mathbf{v}]_{S}. Vou fazer as duas abordagens (direta e por matriz) para você ver que dão o mesmo resultado.
Passo 3
Fazendo direto a combinação linear e expandindo termo a termo:
\begin{aligned} \mathbf{v} &=3\,(t^{2}+1)-1\,(t+1)-2\,(t^{2}+t)\\[4pt] &=3t^{2}+3 - t -1 -2t^{2}-2t. \end{aligned}
Agora agrupamos os termos conforme potência de t:
Coeficiente de t^{2}: 3-2=1.
Coeficiente de t: -1-2=-3.
Termo constante: 3-1=2.
Portanto, o polinômio resultante é
\mathbf{v}(t)=2-3t+1\cdot t^{2},
ou mais limpo,
\mathbf{v}(t)=t^{2}-3t+2.]
Passo 4
(Método por matriz, para fixar a ideia) Vamos escrever cada vetor de S como coordenadas na base E=\{1,t,t^{2}\}:
Isto confirma \mathbf{v}(t)=2-3t+1\cdot t^{2}=t^{2}-3t+2.]
Passo 5
Resumo prático para a prova (dica amiga): quando te derem [\mathbf{v}]_{S} e a base S explícita em termos da base canônica, simplesmente faça a combinação linear dos vetores de S com os coeficientes dados e agrupe termos por potências de t. Se preferir organizar, monte a matriz de mudança de base cujas colunas são as coordenadas dos vetores de S na base canônica e multiplique pela coluna de coordenadas — dá o mesmo e é útil quando há muitos vetores.