Calcule o vetor \mathbf{v} na base canônica, onde o vetor de coordenadas \mathbf{v}_{S}) é dado em relação à base ordenada S de V.
V=P_{2}, S=\left\{t^{2}+1, t+1, t^{2}+t\right\},
[\mathbf{v}]_{S}=\left[\begin{array}{c} 3 \\\\ -1 \\\\ -2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá:
V=P_{2},\qquad S=\{\,t^{2}+1,\;t+1,\;t^{2}+t\,\},
e as coordenadas do vetor \mathbf{v} na base ordenada S:
[\mathbf{v}]_{S}=\begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix}.
O que se pede: calcular o vetor \mathbf{v} na base canônica de P_{2}. Vou usar como base canônica a ordenação usual
E=\{\,1,\;t,\;t^{2}\,\},
ou seja queremos encontrar [\mathbf{v}]_{E} (as coordenadas em relação a E) ou o polinômio \mathbf{v}(t) escrito na forma a+bt+ct^{2}.

Passo 2

Conceito importante (explicadinho): quando me dizem que [\mathbf{v}]_{S}=\begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix}, isso significa que \mathbf{v} é a combinação linear dos vetores da base S com esses coeficientes. Em fórmulas:
\mathbf{v}=3\,(t^{2}+1)+(-1)\,(t+1)+(-2)\,(t^{2}+t).
Cada coeficiente multiplica o vetor (aqui polinômio) correspondente da base S. Para passar para a base canônica E=\{1,t,t^{2}\} basta desenvolver essa combinação e agrupar os termos em potências de t (constante, t, t^{2}). Outra maneira equivalente e sistemática é montar a matriz de mudança de base P cujas colunas são as coordenadas dos vetores de S na base E e multiplicar P por [\mathbf{v}]_{S}. Vou fazer as duas abordagens (direta e por matriz) para você ver que dão o mesmo resultado.

Passo 3

Fazendo direto a combinação linear e expandindo termo a termo:
\begin{aligned} \mathbf{v} &=3\,(t^{2}+1)-1\,(t+1)-2\,(t^{2}+t)\\[4pt] &=3t^{2}+3 - t -1 -2t^{2}-2t. \end{aligned}
Agora agrupamos os termos conforme potência de t:
  • Coeficiente de t^{2}: 3-2=1.
  • Coeficiente de t: -1-2=-3.
  • Termo constante: 3-1=2.
Portanto, o polinômio resultante é
\mathbf{v}(t)=2-3t+1\cdot t^{2},
ou mais limpo,
\mathbf{v}(t)=t^{2}-3t+2.]

Passo 4

(Método por matriz, para fixar a ideia) Vamos escrever cada vetor de S como coordenadas na base E=\{1,t,t^{2}\}:
t^{2}+1 \mapsto \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\qquad t+1 \mapsto \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad t^{2}+t \mapsto \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Formamos a matriz P cujas colunas são essas coordenadas (ordem das colunas seguindo S):
P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora multiplicamos P por [\mathbf{v}]_{S}:
[\mathbf{v}]_{E}=P\,[\mathbf{v}]_{S} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\\[4pt]-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 3 + 1\cdot(-1) + 0\cdot(-2)\\[6pt] 0\cdot 3 + 1\cdot(-1) + 1\cdot(-2)\\[6pt] 1\cdot 3 + 0\cdot(-1) + 1\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Isto confirma \mathbf{v}(t)=2-3t+1\cdot t^{2}=t^{2}-3t+2.]

Passo 5

Resumo prático para a prova (dica amiga): quando te derem [\mathbf{v}]_{S} e a base S explícita em termos da base canônica, simplesmente faça a combinação linear dos vetores de S com os coeficientes dados e agrupe termos por potências de t. Se preferir organizar, monte a matriz de mudança de base cujas colunas são as coordenadas dos vetores de S na base canônica e multiplique pela coluna de coordenadas — dá o mesmo e é útil quando há muitos vetores.

Resposta

\mathbf{v}(t)=t^{2}-3t+2\n [\mathbf{v}]_{E}=\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix}

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