Calcule o vetor \mathbf{v} na base canônica, onde o vetor de coordenadas \mathbf{v}_{S}) é dado em relação à base ordenada S de V.
V=\mathcal{M}_{2 \times 2}
\begin{aligned} & S=\left\{\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 2 & 2 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -1 & 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 2 & 3 \end{array}\right]\right\} \\\ & {[\mathbf{v}]_{S}=\left[\begin{array}{c} 2 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ 3 \end{array}\right] .} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o vetor \mathbf{v} escrito na base canônica (ou seja, encontrar a matriz \mathbf{v} em coordenadas canônicas) sabendo que suas coordenadas relativas à base ordenada S são dadas por
[\mathbf{v}]_{S}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Informações dadas (lista das quatro matrizes da base S e o vetor de coordenadas):
S=\left\{ \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]2 & 3\end{pmatrix} \right\}, \qquad [\mathbf{v}]_{S}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 2

Conceito essencial (explicação didática curta): as coordenadas [\mathbf{v}]_{S} significam que \mathbf{v} é a combinação linear das matrizes da base S com os coeficientes correspondentes. Ou seja, se chamarmos as matrizes de S de \mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2,\mathbf{s}_3,\mathbf{s}_4, e os coeficientes de [\mathbf{v}]_{S} de c_1,c_2,c_3,c_4, então
\mathbf{v}=c_1\mathbf{s}_1+c_2\mathbf{s}_2+c_3\mathbf{s}_3+c_4\mathbf{s}_4.
No caso de \mathcal{M}_{2\times2}, a soma e multiplicação por escalar são feitas entrada a entrada (elemento a elemento). A base canônica de \mathcal{M}_{2\times2} é formada por
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
mas não precisamos reescrever em termos de E_{ij} se somarmos diretamente as matrizes dadas.]

Passo 3

Nomeando as matrizes de S para facilitar a conta:
\mathbf{s}_1=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\; \mathbf{s}_2=\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\; \mathbf{s}_3=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix},\; \mathbf{s}_4=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}.
Os coeficientes são \;c_1=2,\;c_2=1,\;c_3=-1,\;c_4=3.]

Passo 4

Escrevendo a combinação linear que devemos calcular:
\mathbf{v}=2\mathbf{s}_1+1\mathbf{s}_2+(-1)\mathbf{s}_3+3\mathbf{s}_4.

Passo 5

Multiplicando cada matriz pelo seu escalar (fazer isso entrada a entrada):
2\mathbf{s}_1=2\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & 0 \\[4pt]2 & 0\end{pmatrix},
1\mathbf{s}_2=\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
(-1)\mathbf{s}_3=-1\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt]1 & -3\end{pmatrix},
3\mathbf{s}_4=3\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]2 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]6 & 9\end{pmatrix}.]

Passo 6

Somando as quatro matrizes resultado entrada a entrada. Vou calcular cada entrada separadamente (faça o mesmo na prova para evitar erros):
Top-left (posição 1,1):
-2 + 2 + (-1) + 0 = -1.
Top-right (posição 1,2):
0 + 2 + (-2) + 0 = 0.
Bottom-left (posição 2,1):
2 + 0 + 1 + 6 = 9.
Bottom-right (posição 2,2):
0 + 1 + (-3) + 9 = 7.

Passo 7

Juntando as entradas obtidas, a matriz \mathbf{v} na base canônica (ou seja, a própria matriz em \mathcal{M}_{2\times2}) é
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt]9 & 7\end{pmatrix}.
Fica a dica: em prova, sempre escreva claramente cada passo (escalar as matrizes, depois somar entrada a entrada) — é rápido e seguro.]

Resposta

\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt]9 & 7\end{pmatrix}]

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