O que o enunciado pede: encontrar o vetor \mathbf{v} escrito na base canônica (ou seja, encontrar a matriz \mathbf{v} em coordenadas canônicas) sabendo que suas coordenadas relativas à base ordenada S são dadas por
Conceito essencial (explicação didática curta): as coordenadas [\mathbf{v}]_{S} significam que \mathbf{v} é a combinação linear das matrizes da base S com os coeficientes correspondentes. Ou seja, se chamarmos as matrizes de S de \mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2,\mathbf{s}_3,\mathbf{s}_4, e os coeficientes de [\mathbf{v}]_{S} de c_1,c_2,c_3,c_4, então
No caso de \mathcal{M}_{2\times2}, a soma e multiplicação por escalar são feitas entrada a entrada (elemento a elemento). A base canônica de \mathcal{M}_{2\times2} é formada por
Somando as quatro matrizes resultado entrada a entrada. Vou calcular cada entrada separadamente (faça o mesmo na prova para evitar erros):
Top-left (posição 1,1):
-2 + 2 + (-1) + 0 = -1.
Top-right (posição 1,2):
0 + 2 + (-2) + 0 = 0.
Bottom-left (posição 2,1):
2 + 0 + 1 + 6 = 9.
Bottom-right (posição 2,2):
0 + 1 + (-3) + 9 = 7.
Passo 7
Juntando as entradas obtidas, a matriz \mathbf{v} na base canônica (ou seja, a própria matriz em \mathcal{M}_{2\times2}) é